Question

А (3; -2; -1), В (-5; -2; 1), С (-1; 5; 5), D (2; -4; 1). Чему равен cos угла между прямыми АВ и CD?

Answer 1

Косинус угла между прямыми, задаваемыми направляющими векторами $\{a_x;\ a_y;\ a_z\}$ и $\{b_x;\ b_y;\ b_z\}$:

$\cos\alpha =\dfrac{|a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z|}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\cdot \sqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2} }$

Определим направляющие векторы:

$\vec{AB}=\{-5-3;\ -2-(-2);\ 1-(-1)\}=\{-8;\ 0;\ 2\}$

$\vec{CD}=\{2-(-1);\ -4-5;\ 1-5\}=\{3;\ -9;\ -4\}$

Найдем искомый косинус:

$\cos\alpha =\dfrac{|-8\cdot3+0\cdot(-9)+2\cdot(-4)|}{\sqrt{(-8)^2+0^2+2^2}\cdot \sqrt{3^2+(-9)^2+(-4)^2} }=\dfrac{|-32|}{\sqrt{68}\cdot \sqrt{106} }=$

$=\dfrac{32}{2\sqrt{17}\cdot \sqrt{106} }=\dfrac{32}{2\sqrt{1802} }=\dfrac{16}{\sqrt{1802} }$

Ответ: $\dfrac{16}{\sqrt{1802} }$

Answer 2

Чтобы найти косинус угла между прямыми AB и CD, мы можем использовать векторное представление прямых и формулу для косинуса угла между векторами.

Вектор AB можно получить вычитанием координат точки A из координат точки B: AB = B - A = (-5 - 3, -2 - (-2), 1 - (-1)) = (-8, 0, 2).

Аналогично, вектор CD можно получить вычитанием координат точки C из координат точки D: CD = D - C = (2 - (-1), -4 - 5, 1 - 5) = (3, -9, -4).

Теперь, чтобы найти косинус угла между векторами AB и CD, мы можем использовать следующую формулу:

cos(θ) = (AB · CD) / (|AB| * |CD|),

где AB · CD представляет скалярное произведение векторов AB и CD, а |AB| и |CD| обозначают длины этих векторов.

AB · CD = (-8 * 3) + (0 * -9) + (2 * -4) = -24 + 0 - 8 = -32.

|AB| = √((-8)^2 + 0^2 + 2^2) = √(64 + 0 + 4) = √68 = 2√17.

|CD| = √(3^2 + (-9)^2 + (-4)^2) = √(9 + 81 + 16) = √106 = 2√26.

Теперь мы можем подставить эти значения в формулу для косинуса угла:

cos(θ) = (-32) / (2√17 * 2√26) = -32 / (4√(17 * 26)) = -8 / √(17 * 26).

В итоге, косинус угла между прямыми AB и CD равен -8 / √(17 * 26).