Question

Вычислить: tg ⁡(α/2), если sin⁡ α=√3/2, α∈(π/2;π);

Answer 1

α - угол второй четверти, значит Cosα < 0

$Cos\alpha =-\sqrt{1-Sin^{2}\alpha}=-\sqrt{1-(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}}=-\sqrt{1-\frac{3}{4}}=-\sqrt{\frac{1}{4}}=-\frac{1}{2}\\\\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{Sin\alpha}{1+Cos\alpha}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1-\frac{1}{2} }=\frac{\sqrt{3}}{2}*2=\sqrt{3}\\\\Otvet:\boxed{tg\frac{\alpha}{2}=\sqrt{3}}$

Answer 2

Дано, что $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$.

Первым шагом найдем косинус угла $\alpha$ используя тригонометрическую тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$:

$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$

Так как $\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$, то косинус будет отрицательным:

$\cos \alpha = -\frac{1}{2}$

Теперь мы можем использовать половинные углы для нахождения $\tan \left(\frac{\alpha}{2}\right)$:

$\tan \left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2 = \sqrt{3}$

Итак, $\tan \left(\frac{\alpha}{2}\right) = \sqrt{3}$.