Question

Найдите общий вид первообразных для функции y=sin2x+15

Answer 1

Ответ:-1/2 ·Cos2x+15x+C

Объяснение: Если y(x)= Sin2x+15, то первообразные  F(x)имеют вид: F(x)= ( -1/2)·Cos2x+15x+C

Answer 2

Для нахождения общего вида первообразных для функции $y = \sin(2x) + 15$, мы будем интегрировать каждый из членов по отдельности. Общий вид первообразной для функции будет иметь вид:

$F(x) = \int (\sin(2x) + 15) \, dx$

Разделим интеграл на две части:

$F(x) = \int \sin(2x) \, dx + \int 15 \, dx$

Интегрируем каждую часть по отдельности:

1. Интеграл $\int \sin(2x) \, dx$:

Используем интегрирование по частям, где $u = \sin(2x)$ и $dv = dx$. Тогда $du = 2\cos(2x) \, dx$ и $v = x$.

$$\int \sin(2x) \, dx = uv - \int v \, du = x\sin(2x) - \int x \cdot 2\cos(2x) \, dx$$

Интегрируем вторую часть:

$$\int x \cdot 2\cos(2x) \, dx$$

Снова применяем интегрирование по частям, где $u = x$ и $dv = 2\cos(2x) \, dx$. Тогда $du = dx$ и $v = \int 2\cos(2x) \, dx = \sin(2x)$.

$$\int x \cdot 2\cos(2x) \, dx = uv - \int v \, du = x \cdot \sin(2x) - \int \sin(2x) \, dx$$

Теперь подставляем обратно в первообразную:

$$\int \sin(2x) \, dx = x\sin(2x) - (x \cdot \sin(2x) - \int \sin(2x) \, dx)$$

Упрощаем выражение:

$$2 \int \sin(2x) \, dx = x\sin(2x) + \int \sin(2x) \, dx$$

$$\int \sin(2x) \, dx = \frac{1}{2} x\sin(2x)$$

2. Интеграл $\int 15 \, dx$:

Просто интегрируем константу:

$$\int 15 \, dx = 15x$$

Теперь можем записать общий вид первообразной для исходной функции $y = \sin(2x) + 15$:

$F(x) = \frac{1}{2} x\sin(2x) + 15x + C$

где $C$ - произвольная постоянная интегрирования.