Question

Помогите пожалуйста подробно решить уравнение 3sin2x-sin^3x=0 пожалуйста и какой там будет ответ

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

$3sin2x-sin^3x=0\\6sinxcosx-sin^3x=0\\sinx(6cosx-sin^2x)=0\\sinx(6cosx-1+cos^2x)=0\\sinx(cos^2x+6cosx-1)=0\\\\sinx=0\\cos^2x+6cosx-1=0\\\\1)\\sinx=0\\x=n\pi,\;n\in Z\\\\2)\\cos^2x+6cosx-1=0\\t=cosx,\;-1\le t\le 1\\t^2+6t-1=0\\\sqrt{\dfrac{D}{4}}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}\\t_{1,2}=-3\pm\sqrt{10}\\=>\\cosx=-3+\sqrt{10}\\\\x=arccos(-3+\sqrt{10})+2n\pi,\;n\in Z\\x=-arccos(-3+\sqrt{10})+2n\pi,\;n\in Z$

Уравнение решено!

Answer 2

Конечно, я помогу вам решить уравнение 3sin(2x) - sin^3(x) = 0. Давайте начнем с пошагового решения:

1. Для начала, давайте попробуем преобразовать выражение, чтобы оно было более удобным для работы. Мы можем заметить, что у нас есть куб синуса в уравнении. Для упрощения этого, воспользуемся тем, что sin^3(x) = (sin(x))^3:

   3sin(2x) - (sin(x))^3 = 0

2. Далее, мы можем воспользоваться тригонометрической формулой для удвоенного угла: sin(2x) = 2sin(x)cos(x):

   3(2sin(x)cos(x)) - (sin(x))^3 = 0

   Умножим и упростим:

   6sin(x)cos(x) - sin^3(x) = 0

3. Теперь давайте попробуем выразить sin(x) через cos(x), воспользовавшись тригонометрической тождеством: sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

   6sin(x)cos(x) - sin^3(x) = 0

   6sin(x)cos(x) - sin(x)(1 - cos^2(x)) = 0

4. Теперь выразим sin(x) через cos(x):

   6cos(x)sin(x) - sin(x) + sin(x)cos^2(x) = 0

   6cos(x)sin(x) + sin(x)cos^2(x) - sin(x) = 0

   sin(x)(6cos(x) + cos^2(x) - 1) = 0

5. Теперь у нас есть два множителя, которые могут дать нам корни уравнения:

   a) sin(x) = 0

   Это даст нам решение: x = kπ, где k - целое число.

   b) 6cos(x) + cos^2(x) - 1 = 0

   Для решения этого уравнения нам потребуется решить квадратное уравнение относительно cos(x). Давайте заменим cos(x) на t:

   6t + t^2 - 1 = 0

   t^2 + 6t - 1 = 0

   Применяем квадратное уравнение:

   t = (-6 ± √(6^2 - 4 * 1 * (-1))) / (2 * 1)

   t = (-6 ± √(36 + 4)) / 2

   t = (-6 ± √40) / 2

   t = -3 ± √10

   Так как -1 ≤ cos(x) ≤ 1, мы берем только решение -3 + √10.

   Теперь найдем углы, соответствующие этому значению:

   cos(x) = -3 + √10

   x = arccos(-3 + √10)

6. Итак, у нас есть два набора решений:

   a) x = kπ, где k - целое число. b) x = arccos(-3 + √10) + 2πn, где n - целое число.

Это все решения уравнения 3sin(2x) - sin^3(x) = 0.