Question

Решите логарифмическое неравенство log_3√2(x-5)+log_3√2(x+12)≤2

Answer 1

Ответ:

х≤(4-7log(2)-14log(3))/log(324)

Объяснение:

2log(3√2)x+7log(3√2)=2;

2log(3√2)x=2-7log(3√2)

x=1/(log(3√2)-7/2

(на фото числовая ось)

Answer 2

Давайте решим данное логарифмическое неравенство поэтапно:

1. Начнем с объединения логарифмов с использованием свойства суммы логарифмов:

   log_3√2(x-5) + log_3√2(x+12) ≤ 2

   log_3√2((x-5)(x+12)) ≤ 2

2. Применим свойство логарифма, согласно которому log_a(b) ≤ c эквивалентно тому, что b ≤ a^c:

   √2((x-5)(x+12)) ≤ 3^2

   √2((x-5)(x+12)) ≤ 9

3. Возведем обе стороны неравенства в квадрат (для того, чтобы избавиться от корня):

   2(x-5)(x+12) ≤ 81

4. Раскроем скобки и упростим:

   2(x^2 + 12x - 5x - 60) ≤ 81

   2(x^2 + 7x - 60) ≤ 81

   2x^2 + 14x - 120 ≤ 81

5. Перенесем все члены в одну сторону:

   2x^2 + 14x - 120 - 81 ≤ 0

   2x^2 + 14x - 201 ≤ 0

6. Теперь решим квадратное уравнение 2x^2 + 14x - 201 = 0.

   Для этого можно воспользоваться дискриминантом:

   D = b^2 - 4ac D = 14^2 - 4 * 2 * (-201) D = 196 + 1608 D = 1804

   Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два действительных корня.

7. Найдем корни уравнения:

   x = (-b ± √D) / 2a

   x = (-14 ± √1804) / (2 * 2) x = (-14 ± 42.49) / 4

   Таким образом, получаем два корня: x₁ ≈ 7.12 x₂ ≈ -35.62

8. Теперь оценим, в каких интервалах выполняется неравенство:

   7.12 ≤ x ≤ -35.62

   Поскольку логарифм определен только для положительных чисел, рассматриваем только положительные значения x:

   7.12 ≤ x

Таким образом, решением данного логарифмического неравенства является интервал [7.12, +∞).