Question

Помогите решить, пожалуйста Найдите общий вид первообразной для функции f (х) = cos5x

Answer 1

$f(x)=Cos5x\\\\F(x)=\frac{1}{5}Sin5x+C$

Answer 2

Конечно, я помогу вам найти первообразную функции $f(x) = \cos^5(x)$.

Используем метод интегрирования по частям:

$$\int \cos^n(x) \, dx = \frac{1}{n} \cos^{n-1}(x) \sin(x) + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2}(x) \, dx$$

Применяя этот метод к функции $f(x) = \cos^5(x)$, мы имеем:

$$\begin{align*} \int \cos^5(x) \, dx &= \frac{1}{5} \cos^4(x) \sin(x) + \frac{4}{5} \int \cos^3(x) \, dx \\ &= \frac{1}{5} \cos^4(x) \sin(x) + \frac{4}{5} \left( \frac{1}{3} \cos^2(x) \sin(x) + \frac{2}{3} \int \cos(x) \, dx \right) \\ &= \frac{1}{5} \cos^4(x) \sin(x) + \frac{4}{15} \cos^2(x) \sin(x) + \frac{8}{15} \sin(x) + C, \end{align*}$$

где $C$ — постоянная интегрирования.

Итак, общий вид первообразной функции $f(x) = \cos^5(x)$ равен:

$$F(x) = \frac{1}{5} \cos^4(x) \sin(x) + \frac{4}{15} \cos^2(x) \sin(x) + \frac{8}{15} \sin(x) + C,$$

где $C$ — произвольная постоянная.