Question

Докажите тождество (sint+cost)^2= 1 + sin 2t.​

Answer 1

В левой части применим формулу квадрата суммы:
(sint + cost)²= sint² + 2sintcost + cos²

По тригонометрическому тождеству:
sint² + cost²= 1

Получаем:
1+ 2sintcost

Зная формулу синуса двойного угла (sin 2t= 2sintcost), делаем вывод:

1+ sin 2t = 1+ sin 2t

Что и требовалось доказать.

Answer 2

Давайте докажем данное тождество с помощью тригонометрических преобразований.

Имеем: $(\sin t + \cos t)^2$.

Раскроем квадрат: $(\sin t + \cos t)^2 = \sin^2 t + 2 \sin t \cos t + \cos^2 t.$

Используем тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$: $\sin^2 t + 2 \sin t \cos t + \cos^2 t = 1 + 2 \sin t \cos t.$

Теперь применим формулу двойного угла для синуса: $\sin 2t = 2 \sin t \cos t.$

Подставим это в предыдущее выражение: $1 + 2 \sin t \cos t = 1 + \sin 2t.$

Таким образом, мы доказали исходное тождество $(\sin t + \cos t)^2 = 1 + \sin 2t$.