Question

Помогите пожалуйста с алгеброй! Делится ли 7^2017 + 4 ^2018 + 3 ^ 2019 на 10? Полностью обоснуйте свой ответ.

Answer 1

Число делится на 10 только в том случае, если оно оканчивается цифрой 0.

Посмотрим, какой цифрой оканчивается каждое слагаемое.

1) число 7 в разных степенях оканчивается разными цифрами. Попробуем установить закономерность.

$7^1=7,\\7^2=49,\\7^3=343,\\7^4=2401,\\7^5=16807,...$

Т.е. последние цифры записи степеней семерки чередуются так: 7 - 9 - 3 - 1 и по кругу.

Т.к. $7^4$ оканчивается цифрой 1, то $7^{2016}$ также оканчивается цифрой 1. Тогда число $7^{2017}$ оканчивается цифрой 7.

2) Для степеней четверки закономерность проще - 4 - 6 и по кругу:

$4^1=4,\\4^2=16,\\4^3=64,\\4^4=256,...$

Поскольку $4^2$ оканчивается цифрой 6, то  $4^{2018}$ также оканчивается цифрой 6.

3) Закономерность для степеней тройки - 3 - 9 - 7 - 1 и по кругу:

$3^1=3,\\3^2=9,\\3^3=27,\\3^4=81,\\3^5=243,...$

Т.к. $3^3$ оканчивается цифрой 7, то $3^{2019}$ также оканчивается цифрой 7.

В итоге слагаемые $7^{2017}, 4^{2018}, 3^{2019}$ оканчиваются цифрами 7, 6 и 7 соответственно. Если их сложить, то в разрядке единиц класса единиц получим 0. Т.е. число $7^{2017}+4^{2018}+3^{2019}$ оканчивается цифрой 0 - следовательно, оно таки делится на 10.

ОТВЕТ: да.

Answer 2

Давайте посмотрим на каждое из слагаемых по отдельности и определим их остатки при делении на 10.

1. Рассмотрим слагаемое $7^{2017}$:

   Поскольку остаток от деления $7^1$ на 10 равен 7, а остаток от деления $7^2$ на 10 равен 9, и так далее, мы можем заметить периодичность остатков степеней 7 при делении на 10:

   $7^1 \mod 10 = 7$, $7^2 \mod 10 = 9$, $7^3 \mod 10 = 3$, $7^4 \mod 10 = 1$, $7^5 \mod 10 = 7$, и так далее.

   Таким образом, остаток от деления $7^{2017}$ на 10 будет равен остатку от деления $7^1$ на 10, то есть 7.

2. Рассмотрим слагаемое $4^{2018}$:

   Остаток от деления $4^1$ на 10 равен 4, а остаток от деления $4^2$ на 10 равен 6. Также заметим периодичность остатков степеней 4 при делении на 10:

   $4^1 \mod 10 = 4$, $4^2 \mod 10 = 6$, $4^3 \mod 10 = 4$, $4^4 \mod 10 = 6$, и так далее.

   Поскольку степень 2018 делится на 2, остаток от деления $4^{2018}$ на 10 будет равен остатку от деления $4^2$ на 10, то есть 6.

3. Рассмотрим слагаемое $3^{2019}$:

   Остаток от деления $3^1$ на 10 равен 3, остаток от деления $3^2$ на 10 равен 9, остаток от деления $3^3$ на 10 равен 7, и остаток от деления $3^4$ на 10 равен 1. Здесь также есть периодичность остатков:

   $3^1 \mod 10 = 3$, $3^2 \mod 10 = 9$, $3^3 \mod 10 = 7$, $3^4 \mod 10 = 1$, $3^5 \mod 10 = 3$, и так далее.

   Поскольку степень 2019 делится на 4, остаток от деления $3^{2019}$ на 10 будет равен остатку от деления $3^3$ на 10, то есть 7.

Теперь сложим все остатки: $7 + 6 + 7 = 20$. Остаток от деления 20 на 10 равен 0.

Итак, остаток от деления $7^{2017} + 4^{2018} + 3^{2019}$ на 10 равен 0, что означает, что данное выражение делится на 10.