Question

Составить уравнение прямой, не параллельной оси абсцисс, что проходит через точку и касается графика функции В ответ записать абсциссу точки касания. Ответ: 1.

Answer 1

Пусть точка касания равна $x_0$. Составим уравнение касательной к графику функции $y=2-\dfrac{x^2}{2}$ в этой точке.

$y(x_0)=2-\dfrac{x_0^2}{2}$

$y'=-x$

$y'(x_0)=-x_0$

Уравнение касательной:

$y_k=y(x_0)+y'(x_0)(x-x_0)$

$y_k=2-\dfrac{x_0^2}{2}-x_0(x-x_0)$

$y_k=2-\dfrac{x_0^2}{2}-x_0x+x_0^2$

$y_k=2+\dfrac{x_0^2}{2}-x_0x$

Так как касательная проходит через точку $M\left(\dfrac{1}{2} ;\ 2\right)$, то подставим ее координаты в уравнение:

$2=2+\dfrac{x_0^2}{2}-\dfrac{1}{2} x_0$

$\dfrac{x_0^2}{2}-\dfrac{1}{2} x_0=0$

$x_0^2-x_0=0$

$x_0(x_0-1)=0$

$x_0=0;\ x_0=1$

Проверим получающиеся уравнения касательной. Если $x_0=0$:

$y_k=2+\dfrac{0}{2}-0$

$y_k=2$ - прямая параллельна оси абсцисс - противоречие условию

Если $x_0=1$:

$y_k=2+\dfrac{1}{2}-x$

$y_k=\dfrac{5}{2}-x$ - корректное уравнение касательной

Ответ: 1

Answer 2

Уравнение прямой, проходящей через точку и касающейся графика функции, можно записать в виде:

y - y₀ = m(x - x₀),

где (x₀, y₀) - координаты точки, через которую проходит прямая, m - угловой коэффициент этой прямой.

Если прямая касается графика функции в какой-то точке, то угловой коэффициент этой прямой будет равен производной функции в этой точке. То есть:

m = f'(x₀),

где f'(x₀) - производная функции f(x) в точке x₀.

Поскольку нам дан ответ (1), то мы знаем, что m = 1. Таким образом, уравнение прямой можно записать как:

y - y₀ = 1(x - x₀), y - y₀ = x - x₀, y = x - (x₀ - y₀).

Это уравнение прямой, проходящей через заданную точку (x₀, y₀) и касающейся графика функции f(x) в этой точке.