Question

Решите неравенство, пожалуйста: log2x ≤ 2/log2x-1

Answer 1

$log_{2}x\leq\frac{2}{log_{2} x-1}\\\\ODZ:\\1)x>0\\\\2)log_{2}x-1\neq0\Rightarrow log_{2}x\neq1\Rightarrow x\neq 2\\\\log_{2}x-\frac{2}{log_{2}x-1}\leq0\\\\log_{2}^{2}x-log_{2}x-2\leq0\\\\1)log_{2} x\geq-1\\\\x\geq0,5\\\\2)log_{2}x\leq2\\\\x\leq4\\\\Otvet:\boxed{x\in[0,5;2)\cup(2;4]}$

Answer 2

Ну можно было и проще, ну вообще я сделал прям полное решение)))

Answer 3

Для решения данного неравенства сначала давайте перепишем его, чтобы избавиться от логарифмов в знаменателе:

$$\log_2 x \leq \frac{2}{\log_2 x - 1}$$

Для начала, давайте обратим внимание на ограничения: $\log_2 x > 0$ (так как логарифм от неположительного числа не определен) и $\log_2 x \neq 1$ (так как знаменатель не должен быть равен нулю).

Теперь давайте рассмотрим два случая в зависимости от знака $\log_2 x - 1$:

1. Если $\log_2 x - 1 > 0$, то можно умножить обе стороны неравенства на $\log_2 x - 1$, сохраняя при этом направление неравенства:

$$\begin{align*} \log_2 x (\log_2 x - 1) &\leq 2 \\ \log_2 x \cdot \log_2 x - \log_2 x &\leq 2 \\ (\log_2 x)^2 - \log_2 x - 2 &\leq 0 \\ (\log_2 x - 2)(\log_2 x + 1) &\leq 0 \end{align*}$$

Решая это квадратное неравенство, мы получаем: $-1 \leq \log_2 x \leq 2$.

2. Если $\log_2 x - 1 < 0$, то мы должны поменять направление неравенства при умножении на отрицательное число:

$$\begin{align*} \log_2 x (\log_2 x - 1) &\geq 2 \\ \log_2 x \cdot \log_2 x - \log_2 x &\geq 2 \\ (\log_2 x)^2 - \log_2 x - 2 &\geq 0 \\ (\log_2 x - 2)(\log_2 x + 1) &\geq 0 \end{align*}$$

Решая это квадратное неравенство, мы получаем: $\log_2 x \leq -1$ или $\log_2 x \geq 2$.

Таким образом, объединяя оба случая, мы получаем решение:

$$-1 \leq \log_2 x \leq 2 \quad \text{или} \quad \log_2 x \leq -1 \quad \text{или} \quad \log_2 x \geq 2$$

Для первого случая, $-1 \leq \log_2 x \leq 2$, можно выразить в виде интервала: $0.5 \leq x \leq 4$. Для второго и третьего случаев, $\log_2 x \leq -1$ и $\log_2 x \geq 2$, нет положительных значений $x$, удовлетворяющих этим условиям.

Итак, решение неравенства: $0.5 \leq x \leq 4$.