Question

При каких значениях a и b равенство 1/(x²-5x-6)=a/(x-6) + b/(x+1) является тождеством

Answer 1

Ответ:

a = 1/7, b = -1/7

Объяснение:

Рассматривается равенство:

$\displaystyle \tt \frac{1}{x^2-5 \cdot x-6}= \frac{a}{x-6}+\frac{b}{x+1}.$

Правую часть приводим к общему знаменателю:

$\displaystyle \tt \frac{a}{x-6}+\frac{b}{x+1}=\frac{a\cdot (x+1)+b\cdot (x-6)}{(x-6) \cdot (x+1)}=\frac{a\cdot (x+1)+b\cdot (x-6)}{x^2-5 \cdot x-6}.$

Получим равенство вида:

$\displaystyle \tt \frac{1}{x^2-5 \cdot x-6}=\frac{a\cdot (x+1)+b\cdot (x-6)}{x^2-5 \cdot x-6}.$

Так как в равных дробях знаменатели дробей равны, то для равенства должны равняться и числители. Поэтому получаем равенство:

1 = a·(x + 1) + b·(x - 6).

Если последнее равенство выполняется при любом x∈R, то равенство превращается в тождество.

Раскроем скобки в последнем равенстве и перепишем как тождество:

1 ≡ (a - 6·b) + x·(a + b).

В левой части тождества не участвует член с переменной x и поэтому в правой части тождества не должно участвовать, то есть:

a + b = 0 или a = -b.

Константы из левой части и из правой части тождества должны быть равными, то есть

a - 6·b = 1.

Так как a = -b, то получим уравнение

a + 6·a = 1.

Отсюда

7·a = 1 или a = 1/7.

Тогда

b = -a = -1/7.

Answer 2

Для того чтобы данное равенство было тождеством, коэффициенты при одинаковых степенях переменной x в обеих частях уравнения должны быть равными.

Исходное уравнение:

scssCopy code
1/(x² - 5x - 6) = a/(x - 6) + b/(x + 1)

Сначала разложим левую часть дроби на простейшие дроби (partial fraction decomposition):

scssCopy code
1/(x² - 5x - 6) = 1/((x - 6)(x + 1))
               = A/(x - 6) + B/(x + 1)

Теперь сложим две правые части и найдем значения A и B:

scssCopy code
1/(x - 6) + 1/(x + 1) = A/(x - 6) + B/(x + 1)

Общий знаменатель для левой и правой частей в данном случае будет (x - 6)(x + 1).

Сложим дроби на левой стороне:

scssCopy code
(x + 1 + x - 6) / ((x - 6)(x + 1)) = A/(x - 6) + B/(x + 1)
(2x - 5) / ((x - 6)(x + 1)) = A/(x - 6) + B/(x + 1)

Теперь коэффициенты при одинаковых степенях x должны быть равны:

Для x-терма:

cssCopy code
2 = A + B

Для константного терма:

cssCopy code
-5 = -6A + B

Решая данную систему уравнений, мы получим:

cssCopy code
A = 3
B = -1

Итак, равенство будет тождеством при a = 3 и b = -1.