Question

Помогите по математике Найдите площадь фигуры ограниченной линиями y=6x^2 y=0 x=1 x=2

Answer 1

Такие задачи часто решаются при помощи формулы Ньютона-Лейбница:

$\displaystyle \int\limits^b_a {f(x)} \, dx = F(b) - F(a)$

В данном случае $f(x)=6x^2$ (результат приравнивая функций $y=6x^2$ и $y=0$), $a=1$ (соответствует заданная в условии линия $x=1$) и $b=2$ (линия $x=2$).

$\displaystyle \int\limits^2_1 {\Big( 6x^2 \Big)} \, dx = \bigg (\frac{6x^{2+1}}{2+1} \bigg ) \; \Big | ^2 _1 = \bigg (\frac{6x^3}{3} \bigg ) \; \Big | ^2 _1 = \bigg (2x^3 \bigg ) \; \Big | ^2 _1 = \\\\\Big (2 \cdot 2^3 \Big ) - \Big (2 \cdot 1^3 \Big ) = 16-2 = 14$

То есть, площадь искомой фигуры равна $14$ (ед²). Рисунок смотрите ниже, в приложении.

Задача решена!

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной указанными линиями, нужно разбить эту фигуру на части и вычислить площадь каждой из них.

Фигура ограничена линиями y = 6x^2, y = 0, x = 1 и x = 2.

В данном случае фигура ограничена следующим образом:

• Слева от оси y (x < 1) фигура ограничена осью y = 0 и графиком функции y = 6x^2.
• Между осью x и вертикальной линией x = 1 фигура ограничена графиком функции y = 6x^2.
• Между вертикальными линиями x = 1 и x = 2 фигура ограничена графиком функции y = 6x^2 и осью y = 0.
• Справа от оси y (x > 2) фигура ограничена осью y = 0.

Для вычисления площади нужно найти интеграл функции y = 6x^2 от x = 1 до x = 2, а также интеграл от оси x до графика функции y = 6x^2.

Интеграл функции y = 6x^2 от x = 1 до x = 2: ∫[1,2] 6x^2 dx = 2x^3 ∣[1,2] = 2(2)^3 - 2(1)^3 = 2(8) - 2 = 16 - 2 = 14

Интеграл от оси x до графика функции y = 6x^2: ∫[0,1] 6x^2 dx = 2x^3 ∣[0,1] = 2(1)^3 - 2(0)^3 = 2(1) - 2(0) = 2 - 0 = 2

Теперь нужно сложить площади каждой части: Площадь фигуры = площадь под графиком функции y = 6x^2 от x = 1 до x = 2 + площадь между осью x и графиком функции y = 6x^2 от x = 0 до x = 1 = 14 + 2 = 16

Площадь фигуры ограниченной линиями y = 6x^2, y = 0, x = 1 и x = 2 равна 16.