Question

Помогите доказать и оформить! Доказать нечётность интегральной функции Лапласа Ф(-х) = -Ф(х).

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Запишем функцию Лапласа в виде Ф(x)=1/√(2*π)*∫e^(-z²/2)*dz с пределами интегрирования a=0 и b=x. Так как подынтегральная функция - чётная, то ∫e^(-z²/2)*dz с пределами интегрирования a=0 и b=x равен ∫e^(-z²/2)*dz с пределами интегрирования a=-x и b=0. Но так как при перестановке пределов интегрирования местами знак интеграла изменяется на противоположный, то последний интеграл равен -∫e^(-z²/2)*dz с пределами интегрирования a=0 и b=-x. А 1/√(2*π)*∫e^(-z²/2)*dz с пределами интегрирования a=0 и b=-x есть ни что иное, как Ф(-x). Отсюда следует тождество Ф(-x)=-Ф(x). Утверждение доказано.

Answer 2

Для доказательства нечётности интегральной функции Лапласа, мы можем воспользоваться свойствами интеграла и симметрии. Интегральная функция Лапласа определена следующим образом:

Ф(x) = ∫[0, x] e^(-t^2) dt.

Нам нужно показать, что Ф(-x) = -Ф(x).

Для начала, давайте рассмотрим интеграл Ф(-x):

Ф(-x) = ∫[0, -x] e^(-t^2) dt.

Теперь сделаем замену переменной: пусть u = -t. Тогда при интегрировании пределы интегрирования также поменяются местами:

dt = -du, когда t = 0, u = 0, когда t = -x, u = x.

Теперь подставим это в интеграл Ф(-x):

Ф(-x) = ∫[0, x] e^(-u^2) * (-du).

Мы видим, что в данном интеграле мы интегрируем функцию симметрично относительно вертикальной оси. То есть, e^(-u^2) также симметрична относительно оси y. Это означает, что площади, которые добавляются и вычитаются при интегрировании, будут равны, и интеграл Ф(-x) будет равен интегралу Ф(x) с противоположным знаком:

Ф(-x) = ∫[0, x] e^(-u^2) * (-du) = -∫[0, x] e^(-u^2) du = -Ф(x).

Таким образом, мы доказали, что интегральная функция Лапласа Ф(-x) равна -Ф(x), что и требовалось доказать.