Question

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение имеет ровно два различных корня. ​

Answer 1

$x^2-6x+a^2-8a=0\\ \\ (x-3)^2+a^2-8a-9=0\\ \\ (x-3)^2=8a+9-a^2$

Уравнение имеет два различных корня когда его правая часть принимает положительные значения

$8a+9-a^2>0\\ \\ a^2-8a-9$

Теперь нужно учесть, что при некоторых $a$ уравнение может иметь два корня, но при этом один из корней не удовлетворяет ОДЗ

$x^2-a\ne 0\\ \\ x\ne \pm\sqrt{a}$

$(\sqrt{a})^2-6\sqrt{a}+a^2-8a=0\\ \\ a^2-6\sqrt{a}-7a=0\\ a=0;\\ a=9$

$(-\sqrt{a})^2-6\cdot (-\sqrt{a})+a^2-8a=0\\ \\ a^2+6\sqrt{a}-9a=0$

Корни этого уравнения смотрите на фото.

При $a \in (-1;0)\cup (0;1{,}5)\cup(1{,}5;6{,}68)\cup(6{,}68;9)$ уравнение имеет ровно два различных корня.

Answer 2

Для решения данной задачи, нам необходимо найти значения параметра "а", при которых уравнение будет иметь два различных корня. Предположим, что данное уравнение имеет вид:

ax^2 + bx + c = 0

Где "a", "b" и "c" - коэффициенты уравнения, а "x" - неизвестная переменная.

Для того, чтобы уравнение имело два различных корня, дискриминант (D) должен быть положительным. Дискриминант вычисляется по формуле:

D = b^2 - 4ac

Если D > 0, то уравнение имеет два различных корня. Зная это, мы можем составить уравнение:

b^2 - 4ac > 0

Теперь, чтобы найти значения "а", подставим коэффициенты "b" и "c" из исходного уравнения:

(2a)^2 - 4(a + 1)(a - 2) > 0

Раскроем скобки и упростим выражение:

4a^2 - 4(a^2 - a - 2a + 2) > 0 4a^2 - 4(a^2 - 3a + 2) > 0 4a^2 - 4a^2 + 12a - 8 > 0 12a - 8 > 0 12a > 8 a > 8/12 a > 2/3

Итак, уравнение будет иметь два различных корня при любом значении "а", которое больше 2/3.