Question

Решить в целых числах уравнение 1! + 2! + . . . + х! = у²

Answer 1

заметим

1. x! (x > 4) оканчивается на 0  (x! = 1*2*...*(x-1)*x есть 2 и 5 в умножении)

2. квадраты чисел могут оканчиваться на цифры  0, 1, 4, 5, 6, 9

1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 1*2 + 1*2*3 + 1*2*3*4 = 1 + 2 + 6 + 24 = 33

после 4-х решений нет

33 - не квадрат, далее числа, которые оканчиваются на 3, что тоже не может быть квадратом

Смотрим x=1, 2 , 3

1. x = 1

1 = y²

y = 1

y = -1

2. x = 2

1! + 2! = y²

y² = 3 нет решений в целых числах

3. х = 3

1! + 2! + 3! = y²

y² = 1 + 2 + 6 = 9

y = 3

y = -3

ответ (1,1) (1,-1) (3,3) (3,-3)

Answer 2

Данное уравнение является уравнением вида "сумма факториалов". Рассмотрим его подробнее:

1! + 2! + ... + х! = у²

Поскольку все факториалы больше или равны 1, сумма факториалов всегда начинается с 1 + 2 + ... + х. Очевидно, что сумма 1 + 2 + ... + х является арифметической прогрессией. Сумму арифметической прогрессии можно выразить следующим образом:

1 + 2 + ... + х = (х * (х + 1)) / 2

Таким образом, уравнение можно переписать в виде:

(х * (х + 1)) / 2 + (х! - (х * (х + 1)) / 2) = у²

Упростим это уравнение:

(х! - (х * (х + 1)) / 2) = у² - (х * (х + 1)) / 2

Теперь мы видим, что левая часть уравнения содержит факториал и арифметическую прогрессию, а правая часть уравнения — квадрат разности. Сначала давайте рассмотрим некоторые ограничения:

1. Факториалы растут очень быстро, поэтому для больших значений х и у левая сторона уравнения будет значительно больше правой стороны.

2. Квадрат разности двух чисел растет гораздо медленнее, чем факториалы.

С учетом этих ограничений, можно заключить, что для больших значений х и у уравнение не будет иметь решений в целых числах.

Однако, если мы ограничимся небольшими значениями х и у, то с помощью перебора можно найти целочисленные решения. Например, попробуем х = 1 и у = 1:

1! = 1

Уравнение становится:

1 = 1²

Решение существует: х = 1, у = 1.

Помимо этого, может существовать и другие небольшие решения, но для общего случая уравнение не имеет целочисленных решений при больших значениях х и у.