Question

Знайдіть найменше ціле значення параметра с, для якого функція у= х^3 + cx^2 − 2cx + 8 зростає на всій числовій прямій. Відповідь запишіть числом.

Answer 1

$y'=(x^3+cx^2-2cx+8)'=3x^2+2cx-2c$

Функция возрастает на всей числовой прямой, если $y'>0$ для любых х.

$3x^2+2cx-2c>0\\ \\ D=(2c)^2-4\cdot 3 \cdot (-2c)=4c^2+4c\cdot 6=4c(c+6)$

$-6$

Откуда наименьшее целое значение -5.

Answer 2

Для того щоб функція $у = х^3 + cx^2 - 2cx + 8$ зростала на всій числовій прямій, її похідна повинна бути додатною на всьому числовому проміжку. Це означає, що перша похідна функції має бути додатною на всьому діапазоні дійсних чисел.

Обчислимо похідну функції $у$ за $х$:

$у' = 3x^2 + 2cx - 2c.$

Для того щоб $у'$ була додатною на всьому числовому проміжку, коефіцієнт при $x^2$ (тобто $3$) повинен бути додатнім, а коефіцієнт при $x$ (тобто $2c$) повинен бути також додатнім. Тобто ми маємо систему нерівностей:

$3 > 0$ $2c > 0.$

Друга нерівність $2c > 0$ означає, що $c$ повинно бути додатнім. Тобто ми можемо обрати найменше ціле значення $c = 1$, що відповідає умовам задачі.

Отже, найменше ціле значення $c$, для якого функція $у = х^3 + cx^2 - 2cx + 8$ зростає на всій числовій прямій, дорівнює 1.