Question

Даня задумал натуральное число, которое делится на 10, и имеет ровно 10 натуральных делителей. Какое число мог задумать Даня? Укажите все возможные варианты.

Answer 1

В каноническом разложении числа $n$ на простые множители $n=k_1^{\alpha _1}k_2^{\alpha _2} \cdot ... \cdot k_n^{\alpha_n$ количество натуральных делителей по комбинаторному правилу умножения равно $(\alpha_1+1)(\alpha_2+1) \cdot ... \cdot (\alpha_n+1)$.

Если число делится на 10, то начало разложения выглядит так:

$n=2^1 \cdot 5^1 \cdot ...$

Чтобы у числа было 10 делителей, произведение в вышеприведённой формуле должно быть равно 10. Число 10 раскладывается единственным образом на натуральные множители — к тому же простые: 2 и 5. Поэтому степень одного числа должна быть равна 5–1=4, а второго числа 2–1=1. Таких вариантов два:

$n=2^{2-1} \cdot 5^{5-1}=2 \cdot 5^4=1250\\n=2^{5-1} \cdot 5^{2-1}=2^4 \cdot 5=16 \cdot 5=80$

Ответ: 1250 и 80.

Answer 2

Чтобы найти такое натуральное число, которое делится на 10 и имеет ровно 10 натуральных делителей, давайте рассмотрим несколько случаев.

Число, которое делится на 10, должно оканчиваться на 0. Также, чтобы иметь 10 делителей, число должно иметь вид p^4 * q, где p и q - различные простые числа. Это обеспечивает следующее разложение числа на простые множители:

N = (p^4) * q

Учитывая, что число делится на 10, это также означает, что оно делится на 2 и на 5.

Итак, мы можем рассмотреть следующие варианты для p и q:

1. p = 2, q = 5: В этом случае, число N = (2^4) * 5 = 80.

2. p = 5, q = 2: В этом случае, число N = (5^4) * 2 = 1250.

Таким образом, возможные числа, которые мог задумать Даня: 80 и 1250.