Question

Выполнить действия в алгебраической форме, результат записать в тригонометрической и показательной формах: 2 (1 - i √3) / i (√3 - i)

Answer 1

Умножаем и числитель и знаменатель на (√3+i):

$\frac{2(1-i\sqrt{3})(\sqrt{3}+i) }{i(\sqrt{3}-i) (\sqrt{3}+i)} =\frac{2(\sqrt{3}-3i+i-i^2\sqrt{3} }{i(3-i^2)} =\frac{2(2\sqrt{3}-2i) }{i\cdot 4} =\frac{\sqrt{3}-i }{i} ==\frac{(\sqrt{3}-i )i}{i^2}=1-i\sqrt{3}$

z=1-i·√3

|z|=√(1²+(-√3)²)=2

sinφ=y/|z|=-√3/2

cosφ=x/|z|=1/2

sinφ<0; cosφ>0   ⇒  4 четверть  φ =(-π/3)

Тригонометрическая форма

z=2(cos(-π/3)+isin(-π/3))

так как cos(-π/3)=cos(π/3)

sin(-π/3)=- sin(π/3)

z=2(cos(π/3)-isin(π/3))

Показательная форма

$z=2e^{-i\frac{\pi }{3}}$

Answer 2

Давайте начнем с выполнения алгебраических действий:

Выражение: $\frac{2 (1 - i \sqrt{3})}{i (\sqrt{3} - i)}$

1. Умножим числитель и знаменатель на комплексно сопряженное значение знаменателя, чтобы избавиться от мнимых единиц в знаменателе:

$\frac{2 (1 - i \sqrt{3})}{i (\sqrt{3} - i)} \cdot \frac{\sqrt{3} + i}{\sqrt{3} + i}$

2. Произведем умножение числителя и знаменателя:

$\frac{2 (\sqrt{3} + i - 3i + 3 \sqrt{3})}{i \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - i \cdot i)}$

3. Упростим выражение в числителе:

$\frac{2 (4 \sqrt{3} - 2i)}{4i}$

4. Разделим числитель на знаменатель:

$\frac{2 \cdot (4 \sqrt{3} - 2i)}{4i} = \frac{4 \sqrt{3} - 2i}{2i} = 2 \sqrt{3} - i$

Теперь перейдем к тригонометрической форме. Для этого представим комплексное число в виде $a + bi$, где $a$ - вещественная часть, $b$ - мнимая часть.

Здесь $a = 2 \sqrt{3}$ и $b = -1$.

5. Найдем модуль комплексного числа:

$r = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(2 \sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{12 + 1} = \sqrt{13}$

6. Найдем аргумент комплексного числа, используя тангенс:

$\theta = \arctan \left( \frac{b}{a} \right) = \arctan \left( \frac{-1}{2 \sqrt{3}} \right) = -\arctan \left( \frac{\sqrt{3}}{6} \right)$

Теперь перейдем к показательной форме:

7. Показательная форма комплексного числа: $re^{i \theta}$, где $r$ - модуль, $\theta$ - аргумент.

$\sqrt{13} \cdot e^{i \cdot (-\arctan(\sqrt{3}/6))}$

Здесь $e$ - экспонента, $\arctan$ - арктангенс.

Это и есть итоговые выражения в тригонометрической и показательной формах для данного комплексного числа.