Question

Найдите сумму всех решений уравнения sin3x= cos(x − π /6 ), принадлежащих отрезку [0; π].​

Answer 1

Ответ:

==========

Объяснение:

Answer 2

Для нахождения суммы всех решений уравнения на данном интервале, давайте разберемся с ним поочередно:

Уравнение: sin(3x) = cos(x - π/6)

Сначала преобразуем правую часть, используя формулу вычитания для косинуса: cos(x - π/6) = cos(x)cos(π/6) + sin(x)sin(π/6) = √3/2 * cos(x) + 1/2 * sin(x)

Теперь уравнение принимает вид: sin(3x) = √3/2 * cos(x) + 1/2 * sin(x)

Мы знаем, что sin(π/6) = 1/2 и cos(π/6) = √3/2.

Теперь подставим значение sin(3x) из свойства синуса тройного угла: 3sin(x) - 4sin^3(x) = √3/2 * cos(x) + 1/2 * sin(x)

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби: 2(3sin(x) - 4sin^3(x)) = √3 * cos(x) + sin(x)

Раскроем скобки: 6sin(x) - 8sin^3(x) = √3 * cos(x) + sin(x)

Перенесем все слагаемые на одну сторону: 6sin(x) - 8sin^3(x) - sin(x) - √3 * cos(x) = 0

Упростим уравнение: 5sin(x) - 8sin^3(x) - √3 * cos(x) = 0

Теперь мы можем воспользоваться тригонометрическими свойствами, чтобы свести уравнение к одной переменной.

sin(x) = √3/2 * cos(x) tg(x) = √3 x = π/3

Таким образом, мы нашли одно решение уравнения, которое находится в интервале [0, π]: x = π/3.

Следовательно, сумма всех решений на данном интервале равна π/3.