Question

Знайдіть екстремум функції y=sin^22x на проміжку [ π/6; π/3 ].

Answer 1

$sin^22x=\frac{1-cos4x}{2}$

$y`=(\frac{1-cos4x}{2})`=\frac{1}{2}(1-cos4x)`=\frac{1}{2}(0-(-sin4x)\cdot (4x)`)=2sin4x$

$y`=0\\\\sin4x=0\\\\4x=\pi k, k \in Z\\\\x=\frac{\pi k}{4} , k \in Z\\\\\frac{\pi}{4} \in [\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{3}]$

$y(\frac{\pi}{4})=sin^2(2\cdot \frac{\pi}{4})=sin^2\frac{\pi}{2}=1$

Наибольшее значение в точке

$x=\frac{\pi}{4}$

равно 1

Answer 2

Для знаходження екстремумів функції спочатку знайдемо похідну функції та знайдемо її корені на заданому проміжку. Після цього визначимо значення функції на цих точках, щоб з'ясувати, чи є вони локальними екстремумами.

Дано функцію: y = sin^2(2x).

1. Знайдемо похідну функції y по x: y' = d/dx [sin^2(2x)] = 2sin(2x) * cos(2x) * 2 = 4sin(2x)cos(2x) = 2sin(4x).

2. Знайдемо критичні точки, де похідна дорівнює нулю: 2sin(4x) = 0. З цього випливає, що sin(4x) = 0. Так як sin(0) = 0, то можемо записати: 4x = kπ, де k - ціле число.

3. Знаходимо значення x для кожного цілого k: x = kπ/4.

4. Заданий проміжок [π/6, π/3] відповідає значенням x від π/6 до π/3. Підставимо значення x = π/6 та x = π/3 в функцію sin^2(2x):

   y(π/6) = sin^2(2 * π/6) = sin^2(π/3) = 3/4, y(π/3) = sin^2(2 * π/3) = sin^2(2π/3) = sin^2(π) = 0.

Отже, на проміжку [π/6, π/3] маємо дві критичні точки: x = π/6 та x = π/3. Значення функції в цих точках відповідають: y(π/6) = 3/4 та y(π/3) = 0.

Значення функції найбільше в точці x = π/6 (є локальний максимум), а найменше в точці x = π/3 (є локальний мінімум).