Question

Сколько существует n-значных чисел, содержащих цифру 3 один раз? Решение записать в общем виде в зависимости от n.

Answer 1

Ответ:

$9^{n - 1} + 8 * 9^{n - 2} * (n - 1)$

Объяснение:

Пусть тройка на первом месте. Тогда на оставшихся n - 1 местах может стоять любая из 9 других цифр: $9^{n - 1}$

Пусть тройка на любом месте, кроме первого (таких мест n - 1), тогда на оставшихся n - 2 местах стоит любая из 9 других цифр, а на первом любая из 8, т.к. 0 не может там стоять: $8 * 9^{n - 2} * (n - 1)$

Answer 2

Чтобы найти количество n-значных чисел, содержащих цифру 3 один раз, давайте рассмотрим каждую позицию в числе отдельно.

Первая позиция может быть заполнена любой цифрой от 1 до 9, за исключением 3 (потому что мы хотим, чтобы 3 появилось только один раз). Таким образом, у нас есть 9 вариантов для первой позиции.

После того, как мы выбрали первую позицию, остается (n-1) позиций для заполнения. Мы хотим, чтобы в каждой из этих позиций была любая цифра от 0 до 9, за исключением 3 и любых цифр, которые мы уже использовали в предыдущих позициях.

Таким образом, у нас есть 9 вариантов для второй позиции, 8 вариантов для третьей позиции и так далее, до (n-1) вариантов для последней позиции.

Общее количество n-значных чисел, содержащих цифру 3 один раз, можно выразить следующим образом:

Количество = 9 * 9 * 8 * 7 * ... * (n-1)

То есть, перемножаем количество вариантов для каждой позиции от второй до последней.

В общем виде, количество n-значных чисел, содержащих цифру 3 один раз, равно (n-1)!

Здесь "!" обозначает факториал, то есть произведение всех целых чисел от 1 до (n-1). Например, 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120.

Таким образом, общее количество n-значных чисел, содержащих цифру 3 один раз, равно (n-1)!.