Question

Доказать что 21^n + 4^(n+2) делится на 17​

Answer 1

Решение : ////////////////////////////

Answer 2

Давайте воспользуемся методом математической индукции, чтобы доказать, что выражение $21^n + 4^{n+2}$ делится на 17 для всех натуральных $n$.

Шаг 1: Базовый случай (проверка для $n=1$): При $n=1$, выражение становится $21^1 + 4^{1+2} = 21 + 64 = 85$, и это число не делится на 17 без остатка.

Шаг 2: Предположение индукции: Предположим, что для некоторого $k \geq 1$ выражение $21^k + 4^{k+2}$ делится на 17, то есть существует целое число $m$, такое что $21^k + 4^{k+2} = 17m$.

Шаг 3: Индукционный переход: Теперь докажем, что если утверждение верно для $k$, то оно также верно и для $k+1$. Рассмотрим выражение при $n = k+1$: $21^{k+1} + 4^{(k+1)+2} = 21 \cdot 21^k + 4^{k+3} = 21 \cdot 21^k + 4^3 \cdot 4^k = 21 \cdot 21^k + 64 \cdot 4^k$

Мы знаем, что $21^k + 4^{k+2}$ делится на 17 согласно предположению индукции. Давайте попробуем выразить $21 \cdot 21^k$ и $64 \cdot 4^k$ в терминах 17:

$21 \cdot 21^k = 3 \cdot 7 \cdot 17 \cdot 21^k$ $64 \cdot 4^k = 4^3 \cdot 4^k = 4^{k+3}$

Так как $21^k + 4^{k+2}$ делится на 17, то можем выразить $21^k$ и $4^{k+2}$ как:

$21^k = 17m - 4^{k+2}$

Подставим это в выражение для $21 \cdot 21^k + 64 \cdot 4^k$:

$21 \cdot 21^k + 64 \cdot 4^k = 3 \cdot 7 \cdot 17 \cdot 21^k + 4^{k+3} = 3 \cdot 7 \cdot 17 \cdot (17m - 4^{k+2}) + 4^{k+3}$ $= 3 \cdot 7 \cdot 17 \cdot 17m - 3 \cdot 7 \cdot 17 \cdot 4^{k+2} + 4^{k+3}$ $= 17 \cdot (3 \cdot 7 \cdot 17m - 3 \cdot 7 \cdot 4^{k+2}) + 4^{k+3}$

Поскольку $3 \cdot 7 \cdot 17m - 3 \cdot 7 \cdot 4^{k+2}$ является целым числом, то это выражение также делится на 17. Таким образом, получаем, что $21 \cdot 21^k + 64 \cdot 4^k$ также делится на 17.

Итак, мы доказали по индукции, что $21^n + 4^{n+2}$ делится на 17 для всех натуральных $n$.