Question

Решите неравенство ǀx+7ǀ*(x+7)≤16

Answer 1

Ответ:

$|x+7|\cdot (x+7)\leq 16\\\\a)\ \ x\geq -7\ \ \to \ \ \ |x+7|=x+7\ \ \to \\\\(x+7)(x+7)\leq 16\ \ \ \to \ \ (x+7)^2-16\leq 0\ \ \to (x+7-4)(x+7+4)\leq 0\ ,\\\\(x+3)(x+11)\leq 0\ \ \ znaki:\ \ +++[\, -11\ ]---[\, -3\ ]+++\\\\x\in [\, -11\, ;\, -3\ ]\ ,\ \ x\geq -7\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \underline {\ x\in [\, -7\, ;\, -3\ ]\ }\\\\b)\ \ x0\ \ i\ \ (x+7)^2\geq 0\ .$

$\underline {\ x\in (-\infty ;-7)\ }\\\\Otvet:\ \ x\in (-\infty \, ;\, -7)\cup [-7\, ;\, -3\ ]=(-\infty \, ;\, -3\ ]\ .$

Answer 2

Для решения данного неравенства, нужно разбить его на несколько случаев, учитывая модуль:

1. Когда $x + 7 \geq 0$, то $|x + 7| = x + 7$.
2. Когда $x + 7 < 0$, то $|x + 7| = -(x + 7)$.

Рассмотрим каждый случай по отдельности:

Случай 1: $x + 7 \geq 0$ Тогда исходное неравенство примет вид: $(x + 7) \cdot (x + 7) \leq 16$. Раскроем скобки и упростим: $x^2 + 14x + 49 \leq 16$. Перенесём все члены влево: $x^2 + 14x + 33 \leq 0$.

Случай 2: $x + 7 < 0$ Тогда исходное неравенство примет вид: $-(x + 7) \cdot (x + 7) \leq 16$. Раскроем скобки и упростим: $x^2 + 14x + 49 \leq 16$. Перенесём все члены влево: $x^2 + 14x + 33 \leq 0$.

Теперь у нас есть одно неравенство: $x^2 + 14x + 33 \leq 0$. Чтобы найти решения этого квадратного неравенства, найдём корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 14x + 33 = 0$. Далее, используя значение вершины параболы, можно определить интервалы, на которых неравенство выполняется.

Решим квадратное уравнение:

$x^2 + 14x + 33 = 0$

Применим квадратное уравнение и найдём корни:

$x = \frac{-14 \pm \sqrt{14^2 - 4 \cdot 1 \cdot 33}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{-14 \pm \sqrt{4}}{2}$

$x = -7 \pm 1$

Таким образом, корни уравнения $x^2 + 14x + 33 = 0$ равны -6 и -8.

Теперь посмотрим на знак выражения $x^2 + 14x + 33$ на интервалах между корнями и за пределами корней:

1. Если $x < -8$, то $x^2 + 14x + 33$ положительно, так как все слагаемые квадрата и линейной части будут положительными.
2. Если $-8 < x < -6$, то $x^2 + 14x + 33$ отрицательно, так как первое слагаемое (квадрат) отрицательно, а второе и третье (линейная часть и константа) положительны.
3. Если $x > -6$, то $x^2 + 14x + 33$ снова положительно.

Таким образом, неравенство $x^2 + 14x + 33 \leq 0$ не имеет решений.

Исходное неравенство $|x + 7|(x + 7) \leq 16$ также не имеет решений, так как оно сводится к неравенству $x^2 + 14x + 33 \leq 0$, которое не выполняется ни для каких значений $x$.