Question

Двое студентов по очереди бросают мяч в корзину. Побеждает тот, кто раньше забросит мяч. Найти вероятность победы для каждого участника соревнований, если они оба попадают мячом в корзину при каждом броске с вероятностью 0,5 и каждому из них разрешается сделать не более чем 3 броска

Answer 1

Считать будем все броски подряд, из которых нечетные (1, 3, 5) делает первый игрок, а четные (2, 4, 6) - второй.

Первый побеждает в следующих ситуациях:

- попал 1 броском

- попал 3 броском, а все предыдущие броски закончились промахом

- попал 5 броском, а все предыдущие броски закончились промахом

Второй побеждает в следующих ситуациях:

- попал 2 броском, а предыдущий бросок закончился промахом

- попал 4 броском, а все предыдущие броски закончились промахом

- попал 6 броском, а все предыдущие броски закончились промахом

Зная вероятность попадания $p=0.5$, вычислим вероятность промаха:

$q=0.5$:

Вероятность победы первого игрока:

$P(A)=p_1+p_3+p_5=p+q^2p+q^4p=p+p^3+p^5=\\=0.5+0.5^3+0.5^5=0.65625$

Вероятность победы второго игрока:

$P(B)=p_2+p_4+p_6=qp+q^3p+q^5p=p^2+p^4+p^6=\\=0.5^2+0.5^4+0.5^6=0.328125$

Ответ: победа первого с вероятностью 0.65625, победа второго с вероятностью 0.328125

Answer 2

Давайте рассмотрим различные сценарии, которые могут произойти:

1. Первый студент попадает в первом броске, а второй студент промахивается в своем первом броске.
2. Оба студента попадают в первом броске.
3. Первый студент промахивается в первом броске, а второй попадает.
4. Первый студент попадает во втором броске, а второй промахивается в своем первом броске.
5. Первый студент промахивается в первом броске, второй промахивается в своем первом броске, затем оба попадают во втором броске.
6. Оба студента промахиваются в своих первых бросках, затем оба попадают во втором броске.
7. Первый студент попадает во втором броске, второй промахивается в своем первом броске, затем оба попадают в третьем броске.
8. Первый студент промахивается в первом броске, второй попадает во втором броске, затем оба попадают в третьем броске.
9. Оба студента попадают во втором броске.
10. Первый студент промахивается во втором броске, а второй попадает во втором броске.
11. Оба студента промахиваются во втором броске, затем оба попадают в третьем броске.
12. Первый студент попадает в третьем броске, а второй промахивается в своем первом броске.
13. Первый студент промахивается в первом броске, второй попадает в третьем броске.
14. Первый студент попадает в третьем броске, второй промахивается в своем первом броске, затем попадает во втором броске.
15. Первый студент промахивается в первом броске, второй промахивается во втором броске, затем оба попадают в третьем броске.
16. Оба студента попадают в третьем броске.

Считаем количество бросков в каждом из этих сценариев для каждого студента:

• Первый студент может сделать 1, 2 или 3 броска.
• Второй студент также может сделать 1, 2 или 3 броска.

Создадим таблицу, где строки будут представлять количество бросков первого студента, столбцы - количество бросков второго студента, а в ячейках будем указывать вероятность такого сценария.

luaCopy code
|   | 1    | 2    | 3    |
|---|------|------|------|
| 1 | 0    | 0.25 | 0.25 |
| 2 | 0.25 | 0.25 | 0.25 |
| 3 | 0.25 | 0.25 | 0.25 |

Теперь давайте вычислим вероятность победы для каждого студента, сложив вероятности всех сценариев, где они побеждают.

Для первого студента:

• Вероятность победы за 1 бросок: 0
• Вероятность победы за 2 броска: 0.25
• Вероятность победы за 3 броска: 0.25

Итак, вероятность победы первого студента: 0 + 0.25 + 0.25 = 0.5

Аналогично, для второго студента:

• Вероятность победы за 1 бросок: 0.25
• Вероятность победы за 2 броска: 0
• Вероятность победы за 3 броска: 0.25

Итак, вероятность победы второго студента: 0.25 + 0 + 0.25 = 0.5

Оба студента имеют одинаковую вероятность победы - 0.5 каждый.