Question

При яких значеннях параметра а система 2х + у = 3; 4ч + 2у = а має безліч розв’язків? (Бажано з поясненням)

Answer 1

============================================

Answer 2

Система рівнянь має безліч розв'язків, коли ранг її розширеної матриці менше за ранг основної матриці.

Давайте спершу перепишемо вашу систему рівнянь у матричному вигляді:

cssCopy code
2x + y = 3
4c + 2y = a

Можна записати матрицю коефіцієнтів цієї системи:

Copy code
| 2  1 |
| 4  2 |

Тепер розглянемо різні можливі значення параметра a.

1. Якщо a ≠ 0: У такому випадку ми можемо поділити другий рядок на 2, щоб спростити матрицю:

Copy code
| 2  1 |
| 2  1 |

Тепер весь другий рядок можна відняти від першого:

Copy code
| 0  0 |
| 2  1 |

Отже, ранг основної матриці дорівнює 2, і ранг розширеної матриці також дорівнює 2. Оскільки ранги однакові і дорівнюють кількості рівнянь, система має єдиний розв'язок.

2. Якщо a = 0: Тоді матриця буде виглядати так:

Copy code
| 2  1 |
| 4  2 |

У цьому випадку другий рядок дорівнює першому помноженому на 2. Отже, ранг основної матриці дорівнює 1, але ранг розширеної матриці також дорівнює 1, оскільки другий рядок можна отримати, помноживши перший рядок на будь-яке число (у даному випадку - 2).

Таким чином, ранг основної матриці менше за ранг розширеної матриці, і система має безліч розв'язків.

Отже, система має безліч розв'язків, коли параметр a дорівнює 0.