Question

Найдите площадь треугольника, ограниченного прямыми y+x=0, y−x−4=0 и 2x+y−4=0.

Answer 1

Найдем точки пересечения прямых:

$\left \{ {{y+x=0} \atop {y-x=4}} \right. \left \{ {{y+x=0} \atop {2x+y=4}} \right. \left \{ {{y-x=4} \atop {2x+y=4}} \right.$

(-2;2)  или (4;-4) или (0;4)

На [-2:0]  фигура ограничена    прямыми y=x+4 сверху  и снизу y=-x

На [0:4]  фигура ограничена    прямыми y=-2x+4 сверху  и снизу y=-x

S=∫⁰₋₂(x+4-(-x))dx+∫⁴₀(-2x+4-(-x))dx=

=∫⁰₋₂(2x+4)dx+∫⁴₀(-x+4)dx=

=(x²+4x)|⁰₋₂ + ((-x²/2)+4x)|⁴₀=

=0-(4-8)+(-8+16)=4+8=12

Answer 2

$y+x=0\ \ ,\ \ y-x-4=0\ \ ,\ \ 2x+y-4=0\\\\y=-x\ \ ,\ \ y=x+4\ \ ,\ \ y=-2x+4$

Три прямые при пересечении образуют треугольник. Достроим его до прямоугольника размером 6 на 8 . Тогда площадь заданного треугольника равна разности площадей прямоугольника и трёх прямоугольных треугольников (розового, жёлтого и зелёного).

$S=6\cdot 8-\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 6-\dfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 2-\dfrac{1}{2}\cdot 4\cdot 8=48-18-2-16=12$

Answer 3

Для того чтобы найти площадь треугольника, ограниченного этими прямыми, мы можем воспользоваться методом вычисления площади через координаты вершин треугольника. Сначала нам нужно найти точки пересечения прямых.

1. Найдем точку пересечения первых двух прямых (y + x = 0 и y - x - 4 = 0):

Из системы уравнений: y + x = 0 y - x - 4 = 0

Сложим оба уравнения, чтобы избавиться от y: 2y - 4 = 0 y = 2

Подставляем значение y в первое уравнение: 2 + x = 0 x = -2

Таким образом, первая точка пересечения: A(-2, 2).

2. Теперь найдем точку пересечения второй и третьей прямых (y - x - 4 = 0 и 2x + y - 4 = 0):

Из системы уравнений: y - x - 4 = 0 2x + y - 4 = 0

Выразим y из первого уравнения: y = x + 4

Подставляем это значение y во второе уравнение: 2x + (x + 4) - 4 = 0 3x = 0 x = 0

Подставляем значение x в первое уравнение: y - 0 - 4 = 0 y = 4

Таким образом, вторая точка пересечения: B(0, 4).

3. Наконец, найдем точку пересечения второй и третьей прямых (y + x = 0 и 2x + y - 4 = 0):

Из системы уравнений: y + x = 0 2x + y - 4 = 0

Выразим y из первого уравнения: y = -x

Подставляем это значение y во второе уравнение: 2x + (-x) - 4 = 0 x - 4 = 0 x = 4

Подставляем значение x в первое уравнение: y + 4 = 0 y = -4

Таким образом, третья точка пересечения: C(4, -4).

Теперь у нас есть координаты вершин треугольника: A(-2, 2), B(0, 4) и C(4, -4).

Для вычисления площади треугольника можно воспользоваться формулой площади Герона, но так как треугольник имеет одну сторону с нулевой длиной, то его площадь также будет нулевой.