Question

Значения переменных x,y, и z таковы,что 5y^5z=2, x^2 y^3= 10. Найдите значение выражения: 1) 3x^2 y^8z; 2) 2x^4 y^11z​

Answer 1

Ответ:

1) 12;

2) 80.

Решение:

$\displaystyle \left \{ {{ 5y^5z=2 } \atop {x^2 y^3= 10}} \right. ; \;\;\; \left \{ {{ y^5z=2/5 } \atop {x^2 y^3= 10}} \right.$

1)

$\displaystyle 3x^2 y^8z = 3 \cdot \Big (x^2y^3 \Big ) \cdot \Big ( y^5z \Big )= \\\\= 3 \cdot 10 \cdot \frac{2}{5} = 3 \cdot 2 \cdot \frac{2}{1} = 3 \cdot 4 = \bf \underline{12}$

2)

$2x^4 y^{11} z= 2 \cdot \Big (x^2 y^3 \Big ) \cdot \Big (x^2 y^3 \Big ) \cdot \Big (y^5z \Big ) = \\\\= 2 \cdot 10 \cdot 10 \cdot \dfrac{2}{5} = 2 \cdot 10 \cdot 4 = \bf \underline{80}$

Примечание:

При решении мы просто пытались разложить искомые одночлены в произведения нескольких других одночленов, значения которых нам известны (либо по условию, либо по причине того, что они состоят из всего одного числа).

А также использовали формулу перемножения степеней с одинаковыми основаниями:

$a^b \cdot a^c =\underbrace { \Big ( a \cdot ... \cdot a \Big ) }_b \cdot \underbrace { \Big ( a \cdot ... \cdot a \Big ) }_c = a^{b+c}$.    

Answer 2

Давайте начнем с решения системы уравнений, чтобы выразить переменные x, y и z через данные уравнения.

Уравнение 1: $5y^5z = 2$ Уравнение 2: $x^2y^3 = 10$

Из уравнения 1 можно выразить $z$ следующим образом: $z = \frac{2}{5y^5}$.

Подставляя это значение $z$ в уравнение 2, получаем:

$x^2y^3 = 10$

Разрешая это уравнение относительно $x^2$:

$x^2 = \frac{10}{y^3}$

Отсюда:

$x = \sqrt{\frac{10}{y^3}} = \frac{\sqrt{10}}{y^{\frac{3}{2}}}$.

Теперь у нас есть выражения для $z$ и $x$ через $y$. Мы можем подставить их в выражения, которые вы хотите вычислить.

1. $3x^2y^8z = 3 \cdot \left(\frac{\sqrt{10}}{y^{\frac{3}{2}}}\right)^2 \cdot y^8 \cdot \frac{2}{5y^5}$

Упрощая:

$3 \cdot \frac{10}{y^3} \cdot y^8 \cdot \frac{2}{5y^5} = \frac{60}{y^3} \cdot \frac{2}{5y^5} = \frac{24}{5y^{8}}$.

2. $2x^4y^{11}z = 2 \cdot \left(\frac{\sqrt{10}}{y^{\frac{3}{2}}}\right)^4 \cdot y^{11} \cdot \frac{2}{5y^5}$

Упрощая:

$2 \cdot \frac{10^2}{y^6} \cdot y^{11} \cdot \frac{2}{5y^5} = \frac{400}{y^6} \cdot \frac{2}{5y^5} = \frac{160}{5y}$.

Итак, получены следующие значения выражений:

1. $3x^2y^8z = \frac{24}{5y^{8}}$
2. $2x^4y^{11}z = \frac{160}{5y}$