Question

Найти все такие значения k, для которых уравнение kx^2-(k^2+4)x+4k=0 имеет только целые корни, и для каждого такого k найти эти корни.

Answer 1

$kx^{2} -(k^{2} +4)x+4k = 0$

Рассмотрим два случая :

1. k = 0 :

$-4x = 0$

$x = 0$

2. k ≠ 0

$\frac{kx^{2}}{k} -\frac{(k^{2}+4) }{k} x+\frac{4k}{k} =0$

$x^{2} -(k+\frac{4}{k} )x+4 = 0$

По теореме Виета :

$x_1 + x_2 =k+\frac{4}{k}$

$x_1 * x_2 = 4$

-----------------------

$x_1 = k$

$x_2 = \frac{4}{k}$

-----------------------

Ответ : целые решения : k = -4 , k = -2 , k = -1, k = 0, k = 1, k = 2 , k = 4

Answer 2

Для того чтобы уравнение имело только целые корни, дискриминант этого уравнения должен быть полным квадратом. Дискриминант уравнения квадратного вида ax^2 + bx + c = 0 вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac. В данном случае у нас есть уравнение kx^2 - (k^2 + 4)x + 4k = 0, где a = k, b = -(k^2 + 4) и c = 4k.

Следовательно, условие для целых корней: D = (k^2 + 4)^2 - 4k * 4k = k^4 + 8k^2 + 16 - 16k^2 = k^4 + 16.

Чтобы найти все такие значения k, при которых D является полным квадратом, давайте рассмотрим возможные значения k^4 + 16 для целых k:

1. При k = 0: k^4 + 16 = 16, что не является полным квадратом.

2. При k = 1: k^4 + 16 = 17, тоже не является полным квадратом.

3. При k = 2: k^4 + 16 = 32, также не полный квадрат.

4. При k = 3: k^4 + 16 = 97, тоже не полный квадрат.

5. При k = 4: k^4 + 16 = 272, также не полный квадрат.

...

Продолжая аналогично, можно понять, что для любых целых значений k, кроме k = 0, уравнение не будет иметь только целых корней.

Таким образом, нет таких значений k, для которых уравнение kx^2 - (k^2 + 4)x + 4k = 0 имело бы только целые корни.