Question

Куб суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными членами относится к сумме кубов её членов, как 13:4. Найти знаменатель прогрессии.

Answer 1

Ответ:

$q = \frac{1}{3}$

Объяснение:

Имеем по условию $S = \frac{b_1}{1-q} \ (q > 1)$,

$S_1 = \frac{b^3_1}{(1-q)^3}$  - куб суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии,

$S_2 = \frac{b^3_1}{(1-q^3)}$  - сумма кубов членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Получаем:

$\frac{\frac{b^3_1}{(1-q)^3}}{\frac{b^3_1}{(1-q^3)}} = \frac{13}{4} \rightarrow \frac{1-q^3}{(1-q)^3} = \frac{13}{4} \rightarrow \frac{(1-q)(1 + q + q^2)}{(1-q)^3} = \frac{13}{4} \rightarrow \frac{1 + q + q^2}{1-2q + q^2} = \frac{13}{4} \rightarrow \\ \frac{4 + 4q + 4q^2}{13-26q + 13q^2} = 1 \rightarrow 4 + 4q + 4q^2 = 13-26q + 13q^2 \rightarrow 9q^2 -30q + 9 = 0 \rightarrow q = \frac{1}{3}$

Answer 2

Пусть дана бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с первым членом $a$ и знаменателем $q$, где $a > 0$ и $0 < q < 1$. Тогда сумма этой прогрессии будет равна:

$S = \frac{a}{1 - q}.$

Куб суммы этой прогрессии:

$S^3 = \frac{a^3}{(1 - q)^3}.$

Теперь рассмотрим сумму кубов членов этой геометрической прогрессии. Первый член $a^3$, второй член $(aq)^3$, третий член $(aq^2)^3$, и так далее. Таким образом, сумма кубов членов будет:

$S_{\text{cubed}} = a^3 + (aq)^3 + (aq^2)^3 + \ldots.$

Используем формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии:

$S_{\text{cubed}} = \frac{a^3}{1 - a^3}.$

Теперь у нас есть отношение между $S^3$ и $S_{\text{cubed}}$:

$\frac{S^3}{S_{\text{cubed}}} = \frac{\frac{a^3}{(1 - q)^3}}{\frac{a^3}{1 - a^3}} = \frac{1 - a^3}{(1 - q)^3}.$

Из условия задачи известно, что это отношение равно $13/4$:

$\frac{1 - a^3}{(1 - q)^3} = \frac{13}{4}.$

Таким образом, у нас есть уравнение, которое связывает $a$ и $q$. Решая это уравнение, можно найти $q$, который и будет знаменателем прогрессии.