Question

При каком значении параметра a неравенство x^2-3ax+9a>0 верно для любого значения x?

Answer 1

Квадратный трехчлен f(x)=x²-3ax+9a принимает положительные значения для любого х, если график - парабола  лежит выше  оси абсцисс, при этом т.к. старший коэффициент 1 больше нуля, дискриминант должен быть отрицательным, т.е. 9а²-4*9а<0, 9а*(а-4)<0 корни левой части нуль и 4, решим неравенство методом интервалов.

_______0_________4___________

   +                    -                 +

а∈(0;4)

Answer 2

Формула ординаты вершины:

$y_{0} =-\frac{b^2-4c}{4}$

при этом $b=3a$ и $c=9a$

Необходимо, чтобы при любом x график параболы находился выше оси oX. Значит мы должны решить неравенство

$y_{0}=-\frac{b^2-4c}{4}>0$

$-9a^2+36a>0$

a∈(0;4)

Answer 3

Для неравенства $x^2 - 3ax + 9a > 0$ верно, что оно выполняется для любого значения $x$, если дискриминант этого квадратного трехчлена отрицательный ($\Delta < 0$).

Дискриминант вычисляется по формуле $\Delta = b^2 - 4ac$, где в нашем случае $a = 1$, $b = -3a = -3$ и $c = 9a$. Подставляя значения, получаем:

$\Delta = (-3a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9a = 9a^2 - 36a$.

Чтобы дискриминант был отрицательным ($\Delta < 0$), нам нужно решить неравенство:

$9a^2 - 36a < 0$.

Факторизуем его:

$9a(a - 4) < 0$.

Это неравенство выполняется, когда один из множителей положителен, а другой отрицателен.

Таким образом, существует два интервала значений $a$, при которых исходное неравенство выполняется для любого $x$:

1. $a < 0$ (отрицательные значения $a$);
2. $0 < a < 4$ (положительные значения $a$, но меньше 4).

При $a \geq 4$ исходное неравенство может перестать выполняться для некоторых значений $x$.