Question

37.При скількох цілих значеннях m дoбуток коренів рівняння 4x2+15x−m/2−1 = 0 є в проміжку (−2; −1)?

Answer 1

Преобразуем заданное уравнение 4x²+15x−(m/2)−1 = 0 в приведенное:

x²+(15/4)x−((m/8)+(1/4) = 0 или x²+(15/4)x−(m+2/8) = 0.

Применим теорему Виета:

Сумма корней x2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.

Поэтому значение выражения −(m+2/8) должно быть в пределах от -2 до -1.

−(m+2/8) = -2,     m+2 = 16,  m=16-2=14.

−(m+2/8) = -1,     m+2 = 8,  m=8-2=6.

Ответ: 6 < m <14.

Во вложении дан вариант графика функции при m=14.

Answer 2

Розглянемо задане рівняння: 4x^2 + 15x - (m/2) - 1 = 0.

Щоб дізнатися, при яких цілих значеннях m добуток коренів рівняння знаходиться в проміжку (-2, -1), спочатку знайдемо корені цього рівняння.

Використаємо формулу дискримінанту для квадратного рівняння: D = b^2 - 4ac.

У нашому випадку, a = 4, b = 15, c = - (m/2) - 1.

Дискримінант D повинен бути невід'ємним, щоб рівняння мало дійсні корені.

D >= 0 15^2 - 4 * 4 * (- (m/2) - 1) >= 0 225 + 16m + 32 >= 0 16m + 257 >= 0 16m >= -257 m >= -257/16

Тепер ми знаємо, що m повинно бути більше або рівним -257/16, щоб рівняння мало дійсні корені.

Тепер розглянемо добуток коренів рівняння.

Знаємо, що добуток коренів квадратного рівняння ax^2 + bx + c = 0 визначається за формулою: P = c/a.

У нашому випадку, a = 4, c = - (m/2) - 1. Тому добуток коренів рівняння буде: P = (- (m/2) - 1) / 4.

Для того, щоб P знаходився в проміжку (-2, -1), має виконуватися нерівність: -2 < P < -1.

Отже, ми маємо систему нерівностей: -2 < (- (m/2) - 1) / 4 < -1

Множимо обидві частини нерівності на 4: -8 < - (m/2) - 1 < -4

Віднімаємо 1 від усіх частин нерівності: -9 < - (m/2) < -3

Множимо обидві частини нерівності на -2 (змінюємо напрямок нерівності через множення на від'ємне число): 18 > m > 6

Таким чином, цілі знач