Question

15tg²x-tgx-2=0 Найти все корни, удовлетворяющие условию cosx<0

Answer 1

Ответ: 15tg²x-tgx-2=0

Замена: tgx=a

15a²-a-2=0

D=(-1)²-4*15*(-2)=1=120=121=11²

a(1)=(1+11)/(2*15)=12/30=2/5

a(2)=(1-11)/(2*15)=-10/30=-1/3

tgx=2/5 tgx=-1/3

x=arctg(2/5)+πn, n∈Z x=-arctg(1/3)+πn, n∈Z

Answer 2

Дано уравнение: 15tg²x - tgx - 2 = 0.

Для нахождения корней, удовлетворяющих условию cosx < 0, мы можем использовать соотношение между тангенсом и котангенсом: ctgx = 1/tgx.

Заменим tgx на 1/ctgx в исходном уравнении:

15(1/ctgx)² - (1/ctgx) - 2 = 0.

После упрощения получаем:

15/ctgx² - 1/ctgx - 2 = 0.

Умножим уравнение на ctgx² для удаления знаменателей:

15 - ctgx - 2ctgx² = 0.

Упорядочим уравнение по убыванию степеней:

2ctgx² + ctgx - 15 = 0.

Теперь у нас есть квадратное уравнение вида at² + bt + c = 0, где a = 2, b = 1 и c = -15.

Решим это квадратное уравнение с использованием формулы дискриминанта:

Дискриминант (D) = b² - 4ac.

D = (1)² - 4(2)(-15) = 1 + 120 = 121.

Так как D > 0, у нас есть два различных корня.

Формула для нахождения корней:

x = (-b ± √D) / (2a).

x₁ = (-1 + √121) / (2*2) = ( -1 + 11) / 4 = 10 / 4 = 2.5.

x₂ = (-1 - √121) / (2*2) = (-1 - 11) / 4 = -12 / 4 = -3.

Теперь мы получили два корня уравнения 15tg²x - tgx - 2 = 0: x₁ = 2.5 и x₂ = -3.

Однако, нам также нужно удовлетворить условию cosx < 0.

Косинус отрицателен в двух случаях: либо когда x находится в интервале (π, 3π/2), либо когда x находится в интервале (5π/2, 2π).

Таким образом, корень x₁ = 2.5 не удовлетворяет условию cosx < 0.

Итак, корень, удовлетворяющий условию cosx < 0, равен x = -3.