Question

A)15tg²x-tgx-2=0 решить Б) найти все корни, удовлетворяющие cosx<0

Answer 1

$15tg^2x-tgx-2=0\Leftrightarrow \left ( 3tgx+1 \right )\left ( 5tgx-2 \right )=0\\tgx=\left \{ -\frac{1}{3};\frac{2}{5} \right \}\Rightarrow x=\left \{ -arctg\frac{1}{3}+\pi k;arctg\frac{2}{5}+\pi k \right \},k\in \mathbb{Z}\\cosx$

Answer 2

А) Чтобы решить квадратное уравнение 15tg²x - tgx - 2 = 0, давайте заменим tg(x) на t:

Уравнение: 15t² - t - 2 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью квадратного трехчлена, факторизации или квадратного корня. Давайте воспользуемся квадратным корнем:

D = b² - 4ac D = (-1)² - 4 * 15 * (-2) D = 1 + 120 D = 121

t₁ = (-b + √D) / 2a t₁ = (1 + 11) / 30 t₁ = 12 / 30 t₁ = 2 / 5

t₂ = (-b - √D) / 2a t₂ = (1 - 11) / 30 t₂ = -10 / 30 t₂ = -1 / 3

Теперь вернемся к переменной x, зная, что tg(x) = t:

tg(x) = 2/5 x = arctg(2/5) + kπ, где k - целое число

tg(x) = -1/3 x = arctg(-1/3) + kπ, где k - целое число

Б) Условие cos(x) < 0 выполняется в тех случаях, когда угол x находится во втором и третьем квадрантах окружности. В этих квадрантах значение косинуса отрицательно.

Решение: x = π/2 + 2kπ, где k - целое число (во втором квадранте) x = 3π/2 + 2kπ, где k - целое число (в третьем квадранте)

Таким образом, все корни, удовлетворяющие условию cos(x) < 0, будут иметь вид x = π/2 + 2kπ и x = 3π/2 + 2kπ, где k - целое число.