Question

В школьной математической олимпиаде за каждую решенную задачу начислялось 2 балла, а за каждую нерешенную задачу списывался 1 балл. Всего было предложено 10 задач. Все участники набрали разное количество баллов. Ученику, набравшему больше штрафных баллов, чем зачетных, записывалось 0 очков. Какое наибольшее число учащихся могло участвовать на олимпиаде?

Answer 1

Ответ:

8

Объяснение:

Максимальное количество баллов, которое можно набрать, равно 2·10 = 20 — то есть когда все задачи решены. Посмотрим, что будет, если одну правильно решённую задачу заменить на неправильно решённую: +2 заменяется на -1, то есть с увеличением числа неверно решённых задач сумма баллов уменьшается на 3. Значит, возможны следующие варианты: 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, 0 — 8 различных вариантов. Так как все набрали различное количество баллов, участников было не более 8.

Answer 2

Посмотрим на минимальные и максимальные возможные результаты для участников олимпиады, чтобы понять, какое наибольшее количество учеников могло участвовать.

Каждая решенная задача приносит 2 балла, а каждая нерешенная задача списывает 1 балл. Поскольку всего предложено 10 задач, максимальное количество баллов, которое ученик может набрать, равно 20 (если он решит все задачи). Таким образом, ученик, который наберет 20 баллов, не получит ни одного штрафного балла, так как он решил все задачи.

С другой стороны, ученик, который наберет 0 баллов, получит 10 штрафных баллов, так как он ничего не решил.

Таким образом, если ученик получает больше штрафных баллов, чем зачетных, его результат считается 0. Значит, никакой ученик, набравший больше 10 штрафных баллов (и, следовательно, меньше 10 зачетных баллов), не может набрать положительное количество очков.

Следовательно, максимальное количество участников олимпиады равно максимальному количеству учеников, которые могут набрать не менее 10 зачетных баллов. Поскольку каждый ученик набирает разное количество баллов, все ученики, набравшие хотя бы 10 зачетных баллов, должны набрать разные баллы.

Максимальное количество набранных зачетных баллов, которое меньше или равно 10, можно получить следующим образом:

• 9 зачетных баллов + 1 штрафной балл
• 8 зачетных баллов + 2 штрафных балла
• ...
• 1 зачетный балл + 9 штрафных баллов

Таким образом, наибольшее количество учащихся, которые могли участвовать на олимпиаде, равно 10 (учеников с разными комбинациями баллов, как указано выше).