Question

Меньшая сторона прямоугольника равна 16 см и образует с диагональю угол 60 градусов. Середины сторон прямоугольника последовательно соеденены. Определите вид образовавшегося четырехугольника и найдите его периметр.

Answer 1

Найдём большую сторону прямоугольника. Она является катетом в прямоугольном ΔABD.

Для этого нам нужно сперва найти его гипотенузу. Сторона AB лежит против угла в 30° (∠BDA = 90° - ∠ABD = 90° - 60° = 30°).

Теорема: сторона, лежащая против угла в 30° в прямоугольном треугольнике, равняется половине гипотенузы.

BD = 2AB = 32 см .

По теореме Пифагора находим большую сторону прямоугольника:

BD² = AD² + AB²

32² = AD² + 16²

1024 = AD² + 256

AD² = 768

AD = √768 = √(256 * 3) = 16√3

Стороны BF, AH, HD и FC равны. Они равняются половинам сторон BC и AD, а, так как BC = AD, BC/2 = AD/2.

Соответственно, стороны EB, EA, CG и GD также равны.

Таким образом, прямоугольные ΔBEF, ΔCGF, ΔDGH и ΔAEH равны по двум катетам. Соответственно равны и их гипотенузы. Найдём их по той же теореме Пифагора:

EF² = BF² + BE²

EF² = (8√3)² + 8²

EF² = 192 + 64

EF² = 256

EF = 16

Периметр четырёхугольника равен 4EF = 64 см.

Четырёхугольник является ромбом, так как все его стороны равны.

Answer 2

Давайте рассмотрим задачу поэтапно.

1. Мы знаем, что меньшая сторона прямоугольника равна 16 см. Давайте обозначим большую сторону как "a" см, где a > 16.

2. Мы также знаем, что меньшая сторона образует с диагональю угол 60 градусов. Это означает, что мы имеем дело с прямоугольником, в котором один угол равен 60 градусам.

3. Рассмотрим треугольник, образованный меньшей стороной, большей стороной и диагональю прямоугольника. У нас есть:

   • Противоположная катет (меньшая сторона) = 16 см
   • Первая катет (половина большей стороны) = a/2
   • Гипотенуза (диагональ) = a

   В этом треугольнике с углом 60 градусов можно использовать тригонометрическое соотношение для нахождения большей стороны a:

   cos(60°) = adjacent / hypotenuse cos(60°) = (a/2) / a 1/2 = a / (2a) 1/2 = 1/2

   Это уравнение верно, что означает, что такой треугольник существует. Таким образом, большая сторона прямоугольника тоже равна 16 см.

4. Теперь, когда обе стороны прямоугольника известны (16 см и 16 см), давайте соединим их середины. Мы получим вторую диагональ прямоугольника, которая будет пересекаться с первой диагональю в их общей середине.

5. Эти две диагонали создают четырехугольник. Этот четырехугольник - ромб, так как у него все стороны равны между собой.

6. Теперь, чтобы найти периметр этого ромба, мы можем использовать формулу: Периметр = 4 * Сторона.

   Периметр = 4 * 16 см = 64 см.

Итак, полученный четырехугольник - это ромб, и его периметр составляет 64 см.