Question

Найдите наименьшее положительное значение функции "f(x)=sin2/3x"​

Answer 1

Тут всё просто.

Функции синусов и косинусов принимают значения:

$[-1;1]$

Притом без разницы, какое число стоит под синусом/косинусом.

Отсюда выходит, что наименьшее значение данной функции равно нулю.

Ответ:0.

Answer 2

Для нахождения наименьшего положительного значения функции $f(x) = \sin^{2/3}x$, нам нужно найти экстремумы функции в области интереса, то есть от 0 до $2\pi$ (или от 0 до $360^\circ$, так как $\sin$ имеет период $2\pi$ или $360^\circ$).

Для нахождения экстремумов, найдем производную функции $f(x)$: $f'(x) = \frac{2}{3} \sin^{-1/3}x \cdot \cos x.$

Экстремумы могут быть в точках, где производная равна нулю или не существует. Производная не существует, если $\sin^{-1/3}x$ не определена, то есть когда $\sin x \leq 0$. Но так как нас интересует область от 0 до $2\pi$ (или от 0 до $360^\circ$), где $\sin x > 0$, то производная всегда существует в этой области.

Теперь рассмотрим, где производная $f'(x)$ равна нулю: $\frac{2}{3} \sin^{-1/3}x \cdot \cos x = 0.$

Это уравнение имеет два типа решений:

1. $\sin^{-1/3}x = 0$ (что эквивалентно $x = 0$).
2. $\cos x = 0$ (что эквивалентно $x = \frac{\pi}{2}$ или $x = \frac{3\pi}{2}$ в радианах, или $x = 90^\circ$ или $x = 270^\circ$ в градусах).

Теперь найдем значения функции $f(x)$ в найденных точках:

1. $f(0) = \sin^{2/3} 0 = 0$.
2. $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin^{2/3} \frac{\pi}{2} = 1$.
3. $f\left(\frac{3\pi}{2}\right) = \sin^{2/3} \frac{3\pi}{2} = 1$.

Самое маленькое положительное значение функции $f(x)$ равно 1 и достигается в точке $x = \frac{\pi}{2}$ (или $x = 90^\circ$).