Question

Составьте симметричное уравнение четвёртого порядка с корнями, равными 5, 3, одна третья

Answer 1

$15x^4-128x^3+290x^2-128x+15=0\\15\left ( x^4+1 \right )-128x\left ( x^2+1 \right )+290x^2=0\\15\left ( x^2+1 \right )^2-128x\left ( x^2+1 \right )+260x^2=0\\\frac{x^2+1}{x}=t\Rightarrow 15t^2-128t+260=0\Rightarrow t=\left \{ \frac{10}{3};\frac{26}{5} \right \}\\t=\frac{10}{3}\Rightarrow 3x^2-10x+3=0\Rightarrow x=\left \{ \frac{1}{3};3 \right \}\\t=\frac{26}{5}\Rightarrow 5x^2-26x+5=0\Rightarrow \left \{ \frac{1}{5};5 \right \}$

Answer 2

Чтобы составить симметричное уравнение четвёртого порядка с заданными корнями, мы можем использовать их свойства и формулу Виета.

Дано, что корни уравнения равны 5, 3 и одна третья корень. Пусть третий корень будет обозначен как x.

Так как x является корнем, то уравнение (x - 5)(x - 3)(x - \frac{1}{3}) = 0 должно выполняться.

Чтобы получить симметричное уравнение, мы можем умножить оба выражения на 3: 3(x - 5)(x - 3)(x - \frac{1}{3}) = 0

Итак, симметричное уравнение четвёртого порядка с корнями 5, 3 и одной третьей будет: 3(x - 5)(x - 3)(3x - 1) = 0