Question

Найти все значения параметра a, при которых система уравнений x^2+y^2=36; 2*x^2-y=-a имеет только 3 решения.

Answer 1

Даны уравнения x^2+y^2=36 и 2*x^2-y=-a.

Первое уравнение - окружности с радиусом 6 и центром в начале координат.

Если второе уравнение выразить относительно y: у = 2x^2 + a, то увидим уравнение параболы ветвями вверх, симметричную оси Oу и сдвигаемую параметром а вдоль оси Оу.

Чтобы было 3 корня (это точки пересечения данных кривых) 2 точки должны быть в местах пересечения окружности и двух ветвей параболы, третья - в месте касания вершины параболы окружности.

Ответ: а = -6.

Answer 2

Для того чтобы найти значения параметра a, при которых система уравнений имеет ровно 3 решения, нужно проанализировать геометрические свойства этой системы. Сначала рассмотрим уравнения по отдельности:

1. Уравнение окружности: $x^2 + y^2 = 36$.
2. Уравнение параболы: $2x^2 - y = -a$.

Геометрически, рассмотрим как меняются эти кривые при изменении параметра a:

1. Окружность радиуса 6 с центром в начале координат ($0, 0$).
2. Парабола, направленная вверх, с вершиной в точке $(0, 0)$.

Теперь посмотрим, как изменяется количество точек пересечения этих кривых при различных значениях параметра a:

1. Когда $a > 0$, парабола смещается вниз относительно начала координат. При этом она может пересекать окружность в 0, 1 или 2 точках, в зависимости от величины смещения.
2. Когда $a = 0$, парабола пересекает окружность в двух точках.
3. Когда $a < 0$, парабола смещается вверх и может пересечь окружность в двух точках или не пересечь её вовсе.

Для того чтобы система имела ровно 3 решения, парабола и окружность должны пересекаться в двух точках, и парабола должна быть направлена вверх, то есть $a \leq 0$.

Таким образом, значения параметра $a$ при которых система имеет только 3 решения: $a \leq 0$.