Question

При каких b квадратный трёхчлен x^2-4x+b можно разложить на линейные множители?

Answer 1

Ответ:

b≤4

Объяснение:

если х₁ и х₂ - корни квадратного трёхчлена ах²+bx+c, то

ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂)

x²-4x+b=0

D=16-4b  корни существуют при условии D≥0

16-4b≥0   -4b≥-16    b≤4

Answer 2

Квадратный трёхчлен $x^2 - 4x + b$ можно разложить на линейные множители, если у него есть два различных линейных множителя. Разложение на линейные множители будет иметь вид:

$x^2 - 4x + b = (x - r)(x - s),$

где $r$ и $s$ - корни этого уравнения.

Используя формулу дискриминанта для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, где $a = 1$, $b = -4$ и $c = b$, дискриминант $\Delta$ будет:

$\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(b) = 16 - 4b.$

Чтобы квадратный трёхчлен можно было разложить на линейные множители, дискриминант должен быть полным квадратом (то есть быть квадратом некоторого целого числа). Таким образом, для условия разложимости квадратного трёхчлена, должно выполняться неравенство:

$16 - 4b = k^2,$

где $k$ - целое число.

Решая это уравнение относительно $b$, получим:

$b = 4 - \frac{k^2}{4}.$

Таким образом, квадратный трёхчлен $x^2 - 4x + b$ можно разложить на линейные множители, если $b$ удовлетворяет условию $b = 4 - \frac{k^2}{4}$, где $k$ - целое число.