Question

При каждом натуральном n найти сумму s=2*2^0 + 3*2^1 + 4*2^2 + (n+1)*2^(n-1)

Answer 1

Ответ:

$n*2^n$

Объяснение:

Для каждого натурального n вычислить сумму $2*2^0 + 3*2^1 + 4*2^2 +...+ (n+1)*2^{n-1}$.

1 способ

Обозначим $S=\sum\limits_{k=1}^n (k+1)*2^{k-1}$

$\sum\limits_{k=1}^n (k+1)*2^{k-1}= (1+1)*2^{1-1}+\sum\limits_{k=2}^{n+1} (k+1)*2^{k-1} - (n+1+1)*2^{n+1-1}= 2+\sum\limits_{k=2}^{n+1} (k+1)*2^{k-1} - (n+2)*2^{n}=[k-1=l]=2+\sum\limits_{l=1}^{n} (l+2)*2^{l} - (n+2)*2^{n}=2+2(\sum\limits_{l=1}^{n} (l+1)*2^{l-1}+\sum\limits_{l=1}^{n} 2^{l-1}) - (n+2)*2^{n}=2+2(S+\dfrac{1(2^n-1)}{2-1}) - (n+2)*2^{n}=2+2(S+(2^n-1)) - (n+2)*2^{n}=2+2S+2*2^n-2 - (n+2)*2^{n}=2S-n*2^{n}$

А значит $S=2S-n*2^n$ , откуда $S=n*2^n$

__________________________

2 способ

$2*2^0 + 3*2^1 + 4*2^2 +...+ (n+1)*2^{n-1}=(2^0 + 2^1 + 2^2 +...+ 2^{n-1})+(1*2^0 + 2*2^1 + 3*2^2 +...+n*2^{n-1})=\dfrac{1(2^n-1)}{2-1}+(2^0 + 2^1 + 2^2 +...+ 2^{n-1})+(1*2^1 + 2*2^2 +...+(n-1)*2^{n-1})=(2^n-1)+(2^n-1)+(1*2^1 + 2*2^2 +...+(n-1)*2^{n-1})=(2^n-1)+(2^n-1)+(2^1 + 2^2 +...+2^{n-1})+(1*2^2 +...+(n-2)*2^{n-1})=(2^n-1)+(2^n-1)+2^1(2^{n-1}-1)+(1*2^2 +...+(n-2)*2^{n-1})=...=(2^n-1)+(2^n-1)+2^1(2^{n-1}-1)+2^2(2^{n-2}-1)+...+2^{n-1}(2^1-1)=$

$=(2^n-1)+(2^n-1+2^n-2^1+...+2^n-2^{n-1})=(2^n-1)+(n*2^n-1-2^1-...-2^{n-1})=(2^n-1)+n*2^n-(2^n-1)=n*2^n$

Answer 2

Данная сумма выглядит как сумма арифметической прогрессии, в которой каждый элемент умножен на степень двойки. Давайте разберемся с этим шаг за шагом.

Сумма имеет вид: s = 22^0 + 32^1 + 4*2^2 + (n+1)*2^(n-1)

Мы можем вынести общий множитель 2^0, 2^1, 2^2, ..., 2^(n-1) и получить: s = 2^0 * (2 + 32 + 42^2 + (n+1)*2^(n-1))

Теперь давайте посмотрим на внутреннюю часть скобок (2 + 32 + 42^2 + (n+1)2^(n-1)) как на сумму арифметической прогрессии: s = 2^0 * (2 + 2^1(1 + 2 + 2^2 + (n+1)*2^(n-2)))

Внутренняя сумма (1 + 2 + 2^2 + (n+1)*2^(n-2)) также может быть переписана как сумма арифметической прогрессии: s = 2^0 * (2 + 2^1 * (1 + 2 + 2^2 + ... + (n+1)*2^(n-2))) s = 2^0 * (2 + 2^1 * (1 + 2 + 2^2 + ... + 2^(n-1) + (n+1)*2^(n-1)))

Заметим, что внутренняя сумма в скобках представляет собой сумму первых n членов геометрической прогрессии с начальным членом 1 и знаменателем 2. Сумма такой геометрической прогрессии может быть вычислена следующим образом: 1 + 2 + 2^2 + ... + 2^(n-1) = (2^n - 1)

Таким образом, мы можем подставить это обратно в выражение для s: s = 2^0 * (2 + 2^1 * (2^n - 1) + (n+1)*2^(n-1)) s = 2 + 2^1 * (2^n - 1) + (n+1)*2^(n-2)

Теперь мы можем упростить это выражение: s = 2 + 2^(n+1) - 2 + (n+1)*2^(n-2) s = 2^(n+1) + (n+1)*2^(n-2)

Итак, окончательное выражение для суммы будет: s = 2^(n+1) + (n+1)*2^(n-2)

Таким образом, для заданного натурального числа n сумма s будет равна 2^(n+1) + (n+1)*2^(n-2).