Question

Знайти критичні точки функції y= x⁴-2x²-3

Answer 1

Ответ:

$x_1=0\\x_2=1\\x_3=-1$

Объяснение:

Найдем производную функции и приравняем ее к 0 :

$y'=(x^4-2x^2-3)'=4x^3-4x\\\\4x^3-4x=0\\\\x^3-x=0\\\\x\cdot (x^2-1)=0\\\\\left[\begin{array}{ccc}x_1=0\\x_2=1\\x_3=-1\end{array}\right$

Определим знаки производной на интервалах:

$y'\left\{\begin{array}{ccc}$

Знаки чередуются, значит перегибов у функции нет, и все критические точки являются экстремумами.

Answer 2

Для знаходження критичних точок функції спершу треба знайти похідну цієї функції та прирівняти її до нуля, щоб знайти значення x, в яких похідна дорівнює 0. Потім, підставляючи знайдені значення x у вихідну функцію, можна знайти відповідні значення y.

Дана функція: y = x⁴ - 2x² - 3

1. Знайдемо похідну функції за виразом: y' = 4x³ - 4x

2. Прирівняємо похідну до нуля та знайдемо значення x: 4x³ - 4x = 0 4x(x² - 1) = 0 x(x + 1)(x - 1) = 0

   Отримали три значення x: x = 0, x = -1, x = 1.

3. Підставимо ці значення x у вихідну функцію, щоб знайти відповідні значення y:

   Для x = 0: y(0) = 0⁴ - 2(0)² - 3 = -3 Для x = -1: y(-1) = (-1)⁴ - 2(-1)² - 3 = -1 - 2 - 3 = -6 Для x = 1: y(1) = 1⁴ - 2(1)² - 3 = 1 - 2 - 3 = -4

Таким чином, критичні точки цієї функції є (-1, -6) та (1, -4), де значення похідної рівне нулю, і вони можуть представляти мінімум або максимум функції.