Question

Внутри квадрата с вершинами в точках (0; 1), (1, 0), (0, 0), (1, 1). Наугад выбирается точка М (x; y). Какова вероятность того, что ее расстояние до точки (1; 1) не превышает 0,5?

Answer 1

Ответ:

$P=\frac{\pi}{16}$

Объяснение:

Область второго условия (расстояние до точки (1; 1) не превышает 0,5) - круг с центров в точке (1; 1) и радиусом 0,5.

Пересечение такого круга и квадрата - четверть окружности, площадь которой равна:

$S'=\frac{1}{4}\cdot \pi \cdot (\frac{1}{2} )^2 =\frac{\pi}{16}$

Площадь квадрата:

$S=1\cdot 1= 1$

Тогда по геометрическому определению вероятности:

$P=\frac{S'}{S}=\frac{\pi}{16\cdot 1}=\frac{\pi}{16}$

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, давайте определим область, в которой точка M может находиться, чтобы расстояние до точки (1, 1) не превышало 0,5.

Расстояние между двумя точками (x₁, y₁) и (x₂, y₂) можно вычислить по формуле:

d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²).

В данном случае, мы хотим, чтобы расстояние между точкой M (x, y) и точкой (1, 1) было не больше 0,5. То есть:

d = √((1 - x)² + (1 - y)²) ≤ 0,5.

Возводим это неравенство в квадрат, чтобы избавиться от корня:

(1 - x)² + (1 - y)² ≤ 0,5², (1 - x)² + (1 - y)² ≤ 0,25.

Это представляет собой уравнение круга с центром в точке (1, 1) и радиусом 0,5.

Теперь нужно найти площадь этого круга и поделить её на площадь квадрата (со стороной 1), чтобы найти вероятность.

Площадь круга с радиусом r вычисляется по формуле: A = πr².

Площадь квадрата со стороной a равна: A = a².

Таким образом, вероятность того, что точка M будет внутри круга с радиусом 0,5 и центром в точке (1, 1), равна:

P = A_круга / A_квадрата = π * 0.5² / 1² = π * 0.25.

Итак, вероятность того, что расстояние от точки M до точки (1, 1) не превысит 0,5, составляет примерно 0.7854 или около 78.54%.