Question

Найти наибольшое натуральное n , при котором выражение 80!/8n будет целым числом.​

Answer 1

n! = 1*2*3*4*5*6*7*8*...*(n - 2)*(n - 1)*n

80! = 1*2*....*80

8n (максимальное) = 80!

n = 80!/8 = произведение от 1 до 80 без 8

Answer 2

Ответ:

Объяснение:

n = 80!/8

Answer 3

Чтобы выражение $\frac{80!}{8^n}$ было целым числом, необходимо, чтобы числитель $80!$ был делится на знаменатель $8^n$ без остатка. Поскольку $8 = 2^3$, то $8^n = 2^{3n}$.

Чтобы найти наибольшее $n$, при котором $80!$ делится на $2^{3n}$ без остатка, нам нужно определить, сколько множителей $2$ входит в разложение $80!$ на простые множители.

Разложим $80!$ на простые множители и посчитаем количество множителей $2$: $80! = 2^{(77 + 38 + 19 + 9 + 4 + 2 + 1)} \times \text{другие простые множители}$

Таким образом, в разложение $80!$ входит $77 + 38 + 19 + 9 + 4 + 2 + 1 = 150$ множителей $2$.

Теперь мы знаем, что наибольшее возможное значение для $n$ такое, чтобы $3n \leq 150$, так как в выражении $8^n$ степень $3$ отвечает за количество множителей $2$.

Решая неравенство $3n \leq 150$, получаем: $n \leq \frac{150}{3} = 50$

Таким образом, наибольшее возможное значение $n$ равно $50$.