Question

Решите уравнение способом введения новой переменной: (х+1)∧2(х∧2+2х)-12=0

Answer 1

(х^2+2х+1)(х^2+2х)-12=0
пусть х^2+2х=а, тогда
(а+1)*а-12=0
а^2+а-12=0
за т.Виета
(а+4)(а-3)=0
а1=-4 а2=3
подставляем в нашу замену
1) х^2+2х=-4
дискриминант меньше нуля, т.е решений не имеет
2)х^2+2х=3
за т.Виета
х1=-3
х2=1

Ответ: -3; 1

Answer 2

Давайте введем новую переменную, например, $u = x^2 + 2x$. Тогда у нас есть $x = \sqrt{u} - 1$.

Теперь подставим это выражение для $x$ в уравнение:

$$(x + 1)^2 (x^2 + 2x) - 12 = 0$$

$$(\sqrt{u} - 1 + 1)^2 (u) - 12 = 0$$

$$u^2 - 12 = 0$$

Теперь решим это уравнение относительно $u$:

$$u^2 = 12$$

$$u = \pm \sqrt{12}$$

$$u = \pm 2\sqrt{3}$$

Теперь мы можем вернуться к переменной $x$, используя $u = x^2 + 2x$:

Для $u = 2\sqrt{3}$:

$$x^2 + 2x = 2\sqrt{3}$$

$$x^2 + 2x - 2\sqrt{3} = 0$$

Это квадратное уравнение можно решить, используя квадратное уравнение или метод дискриминанта.

Для $u = -2\sqrt{3}$:

$$x^2 + 2x = -2\sqrt{3}$$

$$x^2 + 2x + 2\sqrt{3} = 0$$

Также можно решить это квадратное уравнение.

Таким образом, уравнение $(x + 1)^2 (x^2 + 2x) - 12 = 0$ имеет два комплексных корня для $u = 2\sqrt{3}$ и $u = -2\sqrt{3}$, которые соответствуют двум различным наборам корней для переменной $x$.