Question

1. Какую переменную называют бесконечно большой? 2. Что такое "бесконечно малая величина"? 3. Какая связь существует между бесконечно малой и бесконечно большой величиной? 4. Перечислите теоремы и следствия из них, которые помогают вычислить предел функции? 5. Сформулируйте определение непрерывности функции. 6. Приведите примеры непрерывных функций и функций имеющих разрывы. 7. Что такое односторонний предел. 8. Что такое точка разрыва 1-го и 2-го рода.

Answer 1

Ответ:

Непрерывность функций

Последовательность называется бесконечно большой (б/б), если абсолютные величины всех ее элементов – начиная с некоторого номера N – превышают любое сколь угодно большое наперед заданное число E > 0.Бесконечно малая — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

2Бесконечно большая — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.

В нестандартном анализе бесконечно малые и бесконечно большие определяются не как последовательности и не как переменные величины, а как особый вид чисел.

Непрерывная функция — функция, которая меняется без мгновенных «скачков» (называемых разрывами), то есть такая, малые изменения аргумента которой приводят к малым изменениям значения функции. График непрерывной функции является непрерывной линией.

Непрерывная функция, вообще говоря, синоним понятия непрерывное отображение, тем не менее чаще всего этот термин используется в более узком смысле — для отображений между числовыми пространствами, например, на вещественной прямой. Эта статья посвящена именно непрерывным функциям, определённым на подмножестве вещественных чисел и принимающим вещественные значения. Вариацию этого понятия для функций

4 5 7 8 самой интересно узнать

Answer 2

1. Переменную, стремящуюся к бесконечности, называют бесконечно большой переменной.

2. Бесконечно малая величина - это такая величина, значение которой стремится к нулю при приближении к определенной точке или значению аргумента.

3. Между бесконечно малой и бесконечно большой величинами существует взаимосвязь через понятие предела. Бесконечно малая величина обычно используется для описания того, как функция приближается к своему пределу. Бесконечно большая величина указывает на то, что функция убывает или возрастает без ограничения по мере приближения к определенной точке.

4. Некоторые из теорем, которые помогают вычислить предел функции, включают:

   • Теорема о пределе суммы: Если пределы функций f(x) и g(x) существуют, то предел их суммы равен сумме их пределов.
   • Теорема о пределе произведения: Если пределы функций f(x) и g(x) существуют, то предел их произведения равен произведению их пределов.
   • Теорема о пределе частного: Если пределы функций f(x) и g(x) существуют, и предел знаменателя (g(x)) не равен нулю, то предел их частного равен частному их пределов.
   • Теорема о пределе сложной функции: Если функция g(x) имеет предел L при x стремящемся к a, и функция f(x) имеет предел M при x стремящемся к L, то предел сложной функции f(g(x)) при x стремящемся к a равен M.

5. Функция f(x) непрерывна в точке x = a, если выполнены следующие условия:

   • Значение функции f(x) определено в точке x = a.
   • Предел функции f(x) при x стремящемся к a существует.
   • Значение функции f(x) в точке x = a совпадает с её пределом.

6. Примеры непрерывных функций:

   • Полиномы любой степени.
   • Синус, косинус и другие элементарные тригонометрические функции.
   • Экспоненциальная функция, например, f(x) = e^x.

   Примеры функций с разрывами:

   • Функция Хевисайда: f(x) = {0, x < 0; 1, x ≥ 0}.
   • Функция Дирихле: f(x) = {1, x иррационально; 0, x рационально}.

7. Односторонний предел - это предел функции приближающейся к определенной точке с одной стороны (с левой или правой). Односторонний предел существует, если значения функции монотонно приближаются к определенному значению.

8. Точка разрыва 1-го рода - это такая точка, в которой функция имеет ограниченные односторонние пределы, то есть она либо стремится к конечному пределу слева, либо справа. Точка разрыва 2-го рода - это такая точка, в которой функция имеет хотя бы один бесконечный односторонний предел или односторонний предел вообще не существует.