Question

Упростите выражение 3∙(2^2+1)∙(2^4+1)∙(2^8+1)∙…∙(2^256+1).

Answer 1

Ответ:

$2^{512}-1$

Объяснение:

$3*(2^2+1)*(2^4+1)*(2^8+1)*...*(2^{256}+1)=(2^1-1)(2^1+1)*(2^2+1)*(2^4+1)*(2^8+1)*...*(2^{256}+1)=(2^2-1)(2^2+1)*(2^4+1)*(2^8+1)*...*(2^{256}+1)=(2^4-1)(2^4+1)*(2^8+1)*...*(2^{256}+1)=(2^8-1)(2^8+1)*...*(2^{256}+1)=(2^{16}-1)*...*(2^{256}+1)=...=(2^{256}-1)(2^{256}+1)=2^{512}-1$

Использована формула разности квадратов

Answer 2

Данное выражение выглядит как произведение сомножителей вида $2^{2^k} + 1$, где $k$ принимает значения от 1 до 128. Мы можем заметить, что это является формулой для суммы разностей квадратов: $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$.

В данном случае, $a = 2^{2^k}$, а $b = 1$, поэтому можно преобразовать каждый сомножитель следующим образом:

$2^{2^k} + 1 = (2^{2^{k-1}} + 1)(2^{2^{k-1}} - 1)$

Заметим, что $2^{2^{k-1}} - 1$ является разностью квадратов, которую можно дальше упростить:

$2^{2^{k-1}} - 1 = (2^{2^{k-2}} + 1)(2^{2^{k-2}} - 1)$ $2^{2^{k-1}} - 1 = (2^{2^{k-3}} + 1)(2^{2^{k-3}} - 1)$ $...$ $2^{2^{k-1}} - 1 = (2 + 1)(2 - 1)$

Таким образом, все сомножители в исходном выражении будут сокращаться, оставляя только первый и последний сомножители:

$3 \cdot (2^{2^{128}} + 1) \cdot (2 + 1) = 3 \cdot (2^{2^{128}} + 1) \cdot 3 = 9 \cdot (2^{2^{128}} + 1)$

Это упрощенное выражение.