Question

Сократите дроби, при необходимости освободитесь от иррациональности в знаменателе: а) (3-у²)/(√3-у) ; б) (а+√7а)/(√14+√2а)

Answer 1

$\dfrac{3-y^2}{\sqrt3-y} = \dfrac{(\sqrt3-y)(\sqrt3+y)}{\sqrt3-y} = \sqrt3+y$

$\dfrac{a+\sqrt{7a}}{\sqrt{14}+\sqrt{2a}} = \dfrac{\sqr{a}(\sqrt{a}+\sqrt7)}{\sqrt2(\sqrt7+\sqrt{a})} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt2} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt2} \cdot \dfrac{\sqrt2}{\sqrt2} = \dfrac{\sqrt{a}\sqrt2}{\sqrt2\sqrt2} = \dfrac{\sqrt{2a}}{2}$

Answer 2

а) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе, мы можем умножить и числитель, и знаменатель на сопряженное значение знаменателя:

(3 - у²) / (√3 - у) * (√3 + у) / (√3 + у)

Раскроем скобки в числителе и знаменателе:

(3 * √3 + 3у - у²√3 - у²) / (3 - у²)

Обратите внимание, что у² и -у² в числителе и знаменателе сократятся:

(3 * √3 + 3у) / 3

Теперь можно сократить на 3:

√3 + у

Ответ: √3 + у.

б) Аналогично, умножим числитель и знаменатель на сопряженное значение знаменателя:

(а + √7а) / (√14 + √2а) * (√14 - √2а) / (√14 - √2а)

Раскроем скобки в числителе и знаменателе:

(а√14 + а√2а - √7а√14 - √7а√2а) / (14 - 2а)

Упростим числитель:

а√14 + √2а² - √7а√14 - √14а²

Обратите внимание, что √14а² и -√14а² в числителе сократятся, а также √2а² и -√7а√2а:

а√14 - √7а√14

Теперь можно сократить на √14:

а - √7а

Ответ: а - √7а.