Question

при каких значениях параметра p парабола y=px²-p³x+1 имеет направленные вверх ветви и ось симметрии x=2 ?​

Answer 1

Парабола $y=ax^2+bx+c$ имеет ветви, направленные вверх при $a>0$ и направленные вниз при $a$.

Уравнение оси симметрии имеет вид: $x=-\dfrac{b}{2a}$

В данном случае имеем систему:

$\begin{cases} p>0\\ -\dfrac{-p^3}{2p}=2 \end{cases}$

$\begin{cases} p>0\\ \dfrac{p^2}{2}=2 \end{cases}$

$\begin{cases} p>0\\ p^2=4 \end{cases}$

$\begin{cases} p>0\\ p=\pm2 \end{cases}$

$p=2$

Ответ: p=2

Answer 2

Чтобы парабола имела направленные вверх ветви, параметр p должен быть положительным.

Чтобы парабола имела ось симметрии x = 2, мы должны найти значение x, при котором y будет одинаковым на одинаковом расстоянии от оси симметрии. Поскольку у нас есть функция y = px² - p³x + 1, мы можем найти это значение x, приравнивая выражение для y при x и 4-x и решая уравнение:

px² - p³x + 1 = p(4-x)² - p³(4-x) + 1

Раскроем скобки и упростим:

px² - p³x + 1 = p(16 - 8x + x²) - p³(4 - 4x + x²) + 1

px² - p³x + 1 = 16p - 8px + px² - 4p³ + 4p³x - p⁴x² + 1

Теперь сгруппируем одинаковые степени x:

(p - p⁴)x² + (-p³ + 4p³)x + (1 - 16p + 1) = 0

(p - p⁴)x² + (3p³)x + (2 - 16p) = 0

Поскольку парабола имеет ось симметрии x = 2, одно из решений уравнения должно быть x = 2. Таким образом, у нас есть:

(p - p⁴)(x - 2)(x - x₁) = 0

Где x₁ - это второе решение уравнения.

Если парабола имеет направленные вверх ветви, у нас также должно быть x₁ > 2.

Таким образом, чтобы уравнение имело направленные вверх ветви и ось симметрии x = 2, значения параметра p должны удовлетворять условиям:

• p > 0
• x₁ > 2

Условие x₁ > 2 можно найти, решив уравнение (p - p⁴)(x - 2)(x - x₁) = 0.