Question

Найдите коэффициент x^3 при разложении бинома (x+5)^6 Помогите пожалуйста

Answer 1

$\boxed {\ (a+b)^6=a^6+C_6^1a^5b+C_6^2a^4b^2+C_6^3a^3b^3+C_6^4a^2b^4+C_6^5ab^5+b^6\ }\\\\\\(x+5)^6=\, ...\, +\, C_6^3\cdot x^3\cdot 5^3\, +...=\dfrac{6\cdot 5\cdot 4}{3!}\cdot x^3\cdot 125\, +...=\\\\\\=...+\, 20\cdot x^3\cdot 125\, +...=...+\, 2500\cdot x^3\, +...$

Коэффициент при  $x^3$   равен  $2500$  .

$P.S.\ \ \ \ C_{n}^{k}=\dfrac{n\cdot (n-1)\cdot ...\cdot (n-k+1)}{k!}$

Answer 2

Для нахождения коэффициента при $x^3$ в разложении бинома $(x + 5)^6$ по формуле бинома Ньютона, мы можем использовать следующий коэффициент:

Коэффициент $C(k, n)$, где $k$ - степень $x$, а $n$ - степень бинома, представляет собой число сочетаний из $n$ элементов по $k$. Это вычисляется по формуле:

$C(k, n) = \frac{n!}{k!(n - k)!}$

В данном случае нам нужно найти коэффициент при $x^3$ в разложении $(x + 5)^6$, поэтому $k = 3$ и $n = 6$. Подставляя значения в формулу, получаем:

$C(3, 6) = \frac{6!}{3!(6 - 3)!} = \frac{720}{6 \cdot 6} = 20$

Таким образом, коэффициент при $x^3$ в разложении $(x + 5)^6$ равен 20.