Question

На доске написаны последовательные натуральные числа от 3 до 14 . Артëм хочет разбить числа на две группы произведения которых равны, при этом часть чисел разрешается стереть. Какое минимальное количество придется стереть?

Answer 1

Ответ:

3 числа: 3, 11 и 13

Объяснение:

Рассматривается произведение последовательных натуральных чисел от 3 до 14

П₀ = 3·4·5·6·7·8·9·10·11·12·13·14.

Определим степени простых чисел в произведении:

П₀ = 3·4·5·6·7·8·9·10·11·12·13·14 = 3·2·2·5·2·3·7·2·2·2·3·3·2·5·11·2·2·3·13·2·7=

= 2¹⁰·3⁵·5²·7²·11¹·13¹.

Произведение П₀ можно разбить на две группы чисел произведения которых равны, если степени простых чисел чётное. Поэтому следует удалить 3, 11 и 13. Тогда полученная удалением этих чисел произведение Пₐ можно разбить, например, в следующие группы:

Пₐ = 4·5·6·7·8·9·10·12·14 = (4·5·7·8·9)·(6·10·12·14) = 10080·10080,

П₁ = 4·5·7·8·9, П₂ = 6·10·12·14.

Answer 2

Для того чтобы разбить числа на две группы так, чтобы произведения были равны, мы можем воспользоваться следующей логикой:

1. Заметим, что произведение всех чисел от 3 до 14 равно 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10 * 11 * 12 * 13 * 14.

2. Мы должны разделить эти числа на две группы так, чтобы произведения были равны. Это возможно только в том случае, если обе группы имеют одинаковое произведение, равное половине от произведения всех чисел.

3. Произведение всех чисел равно 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10 * 11 * 12 * 13 * 14 = 7,783,200.

4. Половина этого произведения равна 7,783,200 / 2 = 3,891,600.

5. Теперь мы должны выбрать числа так, чтобы их произведение составляло 3,891,600.

Чтобы найти минимальное количество чисел, которые нужно стереть, мы можем начать с самых больших чисел и поочередно добавлять их к одной из групп, пока произведение этой группы не достигнет 3,891,600. Если мы не можем добавить большее число без превышения этой суммы, то мы должны стереть оставшиеся числа.

В этом случае, мы можем сделать следующее:

• Добавим 14 к одной из групп, получим 14 и произведение группы 14.
• Добавим 13 к этой же группе, получим 14 * 13 и произведение группы 14 * 13.
• Добавим 12 к этой же группе, получим 14 * 13 * 12 и произведение группы 14 * 13 * 12.

Теперь произведение группы 14 * 13 * 12 равно 21,168, что больше, чем половина от 3,891,600. Следовательно, нам нужно стереть оставшиеся числа.

Таким образом, минимальное количество чисел, которые придется стереть, равно 11 - 3 = 8 чисел.